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LOGARITMI: alcuni ESERCIZI

 

 



Per comprendere  

 

Dopo aver introdotto il concetto di LOGARITMO e aver visto alcuni CASI PARTICOLARI di logaritmi, ora vedremo alcuni semplici ESERCIZI relativi ai LOGARITMI.

Per risolvere questi esercizi scriveremo la definizione di logaritmo nel modo seguente:

ac = b

loga b = c.

 

Rispetto a quanto abbiamo visto nelle lezioni precedenti, abbiamo semplicemente sostituito alla  x la c: questo per evitare confusione tra il valore del logaritmo e l'incognita dell'esercizio.

 

In questa lezione vedremo tre tipi di esercizi relativi ai logaritmi.

 

PRIMO TIPO.

Il primo tipo di esercizio che andiamo a vedere è quello nel quale, è nota la base e il valore del logaritmo e dobbiamo determinare l'ARGOMENTO.

Esempio 1:

log4 x = 3.

La nostra x è l'argomento del logaritmo.

Dalla definizione di logaritmo sappiamo che:

loga b = c

che significa che 

ac = b.

Nel nostro esempio, quindi:

a = 4

b = x

c = 3.

Da cui

ac = b

cioè

43 = x

43 = 64.

La soluzione cercata è 64.

 

 

Esempio 2:

log2 x = -3.

Risolviamo come nell'esempio precedente e avremo:

2-3 = x

(1/2)3 = 1/8.

La soluzione cercata è 1/8.

 

 

 

SECONDO TIPO.

Il secondo tipo di esercizio che esaminiamo è quello nel quale, è noto l'argomento e il valore del logaritmo e dobbiamo determinare la BASE.

Esempio 1:

logx 16 = 2.

La nostra x è la base del logaritmo.

Dalla definizione di logaritmo sappiamo che:

loga b = c

che significa che 

ac = b.

Nel nostro esempio, quindi:

a = x

b = 16

c = 2.

Da cui

x2 = 16.

cioè

Esercizi logaritmi

 

Poiché, come si è visto nelle lezioni precedenti, la BASE del logaritmo deve essere POSITIVA, l'unica soluzione accettabile è +4.

 

Esempio 2:

logx 27 = 3.

Risolviamo come nell'esempio precedente e avremo:

x3 = 27

Esercizi logaritmi

La soluzione cercata è 3.

Facciamo una precisazione. Negli esercizi nei quali dobbiamo cercare la BASE del logaritmo, dovendo calcolare una radice, dobbiamo distinguere due ipotesi:

  • la RADICE ha INDICE PARI. In questo caso avremo due soluzioni, una positiva e l'altra negativa. L'unica soluzione ammissibile è quella POSITIVA dato che la base del logaritmo non può mai essere negativa;

  • la RADICE ha INDICE DISPARI. In questo caso avremo una sola soluzione che dovrà essere positiva affinché sia accettabile.

 

 

 

 

TERZO TIPO.

Il terzo tipo di esercizio è quello nel quale sono noti la base e l'argomento e dobbiamo determinare il VALORE DEL LOGARITMO.

Esempio 1:

log5 125 = x.

La nostra x è il valore del logaritmo.

Riprendiamo la definizione di logaritmo:

loga b = c

che significa che 

ac = b.

Nel nostro esempio, quindi:

a = 5

b = 125

c = x.

Da cui

5x = 125.

Se non riusciamo a trovare a mente il valore al quale deve essere elevato il numero 5 per ottenere 125, possiamo procedere a scomporre in fattori primi il numero 125:

125 = 53.

 

Quindi, il valore da noi cercato è 3.

 

Esempio 2:

log3 (1/9) = x.

Risolviamo come nell'esempio precedente e avremo:

3x = 1/9

che equivale a scrivere:

3-x = 9.

Potremmo trovare già mentalmente il risultato, però procediamo a scomporre in fattori primi il numero 9:

9 = 32.

Quindi

x = 2

e di conseguenza

-x = -2.

Quindi, il valore da noi cercato è -2.

 

 

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