LOGARITMI: ALCUNI ESERCIZI
- I logaritmi: definizione
- Casi particolari dell'elevazione a potenza
- Scomposizione di un numero in fattori primi
Dopo aver introdotto il concetto di LOGARITMO e aver visto alcuni CASI PARTICOLARI di logaritmi, ora vedremo alcuni semplici ESERCIZI relativi ai LOGARITMI.
Per risolvere questi esercizi scriveremo la definizione di logaritmo nel modo seguente:
ac = b
loga b = c.
Rispetto a quanto abbiamo visto nelle lezioni precedenti, abbiamo semplicemente sostituito alla x la c: questo per evitare confusione tra il valore del logaritmo e l'incognita dell'esercizio.
In questa lezione vedremo tre tipi di esercizi relativi ai logaritmi.
PRIMO TIPO.
Il primo tipo di esercizio che andiamo a vedere è quello nel quale, è nota la base e il valore del logaritmo e dobbiamo determinare l'ARGOMENTO.
Esempio 1:
log4 x = 3.
La nostra x è l'argomento del logaritmo.
Dalla definizione di logaritmo sappiamo che:
loga b = c
che significa che
ac = b.
Nel nostro esempio, quindi:
a = 4
b = x
c = 3.
Da cui
ac = b
cioè
43 = x
43 = 64.
La soluzione cercata è 64.
Esempio 2:
log2 x = -3.
Risolviamo come nell'esempio precedente e avremo:
2-3 = x
(1/2)3 = 1/8.
La soluzione cercata è 1/8.
SECONDO TIPO.
Il secondo tipo di esercizio che esaminiamo è quello nel quale, è noto l'argomento e il valore del logaritmo e dobbiamo determinare la BASE.
Esempio 1:
logx 16 = 2.
La nostra x è la base del logaritmo.
Dalla definizione di logaritmo sappiamo che:
loga b = c
che significa che
ac = b.
Nel nostro esempio, quindi:
a = x
b = 16
c = 2.
Da cui
x2 = 16.
cioè
Poiché, come si è visto nelle lezioni precedenti, la BASE del logaritmo deve essere POSITIVA, l'unica soluzione accettabile è +4.
Esempio 2:
logx 27 = 3.
Risolviamo come nell'esempio precedente e avremo:
x3 = 27
La soluzione cercata è 3.
Facciamo una precisazione. Negli esercizi nei quali dobbiamo cercare la BASE del logaritmo, dovendo calcolare una radice, dobbiamo distinguere due ipotesi:
- la RADICE ha INDICE PARI. In questo caso avremo due soluzioni, una positiva e l'altra negativa. L'unica soluzione ammissibile è quella POSITIVA dato che la base del logaritmo non può mai essere negativa;
- la RADICE ha INDICE DISPARI. In questo caso avremo una sola soluzione che dovrà essere positiva affinché sia accettabile.
TERZO TIPO.
Il terzo tipo di esercizio è quello nel quale sono noti la base e l'argomento e dobbiamo determinare il VALORE DEL LOGARITMO.
Esempio 1:
log5 125 = x.
La nostra x è il valore del logaritmo.
Riprendiamo la definizione di logaritmo:
loga b = c
che significa che
ac = b.
Nel nostro esempio, quindi:
a = 5
b = 125
c = x.
Da cui
5x = 125.
Se non riusciamo a trovare a mente il valore al quale deve essere elevato il numero 5 per ottenere 125, possiamo procedere a scomporre in fattori primi il numero 125:
125 = 53.
Quindi, il valore da noi cercato è 3.
Esempio 2:
log3 (1/9) = x.
Risolviamo come nell'esempio precedente e avremo:
3x = 1/9
che equivale a scrivere:
3-x = 9.
Potremmo trovare già mentalmente il risultato, però procediamo a scomporre in fattori primi il numero 9:
9 = 32.
Quindi
x = 2
e di conseguenza
-x = -2.
Quindi, il valore da noi cercato è -2.
