POTENZE AD ESPONENTE REALE

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

Nelle nostre lezioni abbiamo imparato a conoscere vari tipi di potenze e più precisamente:

  • le POTENZE di un NUMERO REALE, diverso da zero, con ESPONENTE INTERO POSITIVO.

    Esempio:

    Potenze di un numero reale con esponente intero positivo



    Si tratta di potenze del tipo

    an

    che si risolvono moltiplicandoa per se stesso per n volte

    a = a x a x a.....x a (n volte)



  • le POTENZE di un NUMERO REALE, diverso da zero, con ESPONENTE INTERO NEGATIVO.

    Esempio:

    Potenze di un numero reale con esponente intero negativo



    Si tratta di potenze del tipo

    a-n

    che si risolvono ponendo

    a-n = 1/ (an)



  • le POTENZA di un NUMERO REALE POSITIVO con ESPONENTE RAZIONALE POSITIVO.

    Esempio:

    Potenze di un numero reale positivo con esponente razionale positivo

    Si tratta di potenze del tipo

    am/n

    che si risolvono ponendo

    Potenze di un numero reale positivo con esponente razionale positivo



  • le POTENZA di un NUMERO REALE POSITIVO con ESPONENTE RAZIONALE NEGATIVO.

    Esempio:

    Potenze di un numero reale positivo con esponente razionale negativo

    Si tratta di potenze del tipo

    a-m/n

    che si risolvono ponendo

    Potenze di un numero reale positivo con esponente razionale negativo




In questa lezione vogliamo parlare di POTENZE di un NUMERO REALE POSITIVO ad ESPONENTE IRRAZIONALE.



In altre parole ci troveremo di fronte a potenze del tipo:

Potenze di un numero reale positivo con esponente irrazionale

Cerchiamo di capirne il significato.

Iniziamo col dire che

Radice di due



La radice di due è, quindi, un numero COMPRESO tra 1 e 2. Quindi possiamo dire che

Tre elevato alla radice di due

ovvero

Tre elevato alla radice di due



Ora, proseguendo su questo ragionamento, consideriamo anche il primo decimale (radice di 2 uguale 1,4). Possiamo dire, allora, che la radice di due è un numero COMPRESO tra 1,4 e 1,5. Quindi possiamo dire che

Tre elevato alla radice di due



Ora esprimiamo 1,4 e 1,5 sotto forma di decimali, ovvero:

Tre elevato alla radice di due

e semplificando gli esponenti possiamo scrivere

Tre elevato alla radice di due

Ricordando che

Potenze di un numero reale positivo con esponente razionale positivo

possiamo scrivere

Tre elevato alla radice di due



Andiamo avanti nel nostro ragionamento, consideriamo anche il secondo decimale (radice di 2 uguale 1,41). Possiamo dire, allora, che la radice di due è un numero COMPRESO tra 1,41 e 1,42. Quindi possiamo dire che

Tre elevato alla radice di due



Procedendo come fatto in precedenza possiamo scrivere:

Tre elevato alla radice di due



Andiamo ancora avanti e consideriamo anche il terzo decimale (radice di 2 uguale 1,414). Possiamo dire che la radice di due è un numero COMPRESO tra 1,414 e 1,415. Quindi possiamo dire che

Tre elevato alla radice di due



Procediamo così come abbiamo fatto prima:

Tre elevato alla radice di due



Andiamo ancora avanti e consideriamo anche il quarto decimale (radice di 2 uguale 1,4142). Possiamo dire che la radice di due è un numero COMPRESO tra 1,4142 e 1,4143. Quindi possiamo dire che

Tre elevato alla radice di due



Ovvero:

Tre elevato alla radice di due

Come possiamo notare l'intervallo di valori, nei quali è compreso tre elevato alla radice quadrata di due, si restringe sempre più. Se andiamo avanti con i nostri conteggi vedremo che gli intervalli successivi saranno

Tre elevato alla radice di due

Tre elevato alla radice di due

Tre elevato alla radice di due



Abbiamo visto che il nostro intervallo si è ulteriormente ristretto. Da un certo punto in poi, le cifre decimali in comune sono sempre di più.



Possiamo, quindi, dire chele seguenti classi

Potenze di un numero reale positivo con esponente irrazionale



definiscono la potenza

Potenze di un numero reale positivo con esponente irrazionale

il cui valore approssimato ai centesimi è

4,72.



Quindi

Potenze di un numero reale positivo con esponente irrazionale

è un numero irrazionale poiché può essere immaginato come ELEMENTO SEPARATORE tra tutti i razionali che vengono prima e tutti i razionali che lo seguono. Perciò, questo numero, è un NUMERO REALE.

Chiaramente, quanto abbiamo detto può essere generalizzato a qualsiasi potenza di un numero reale positivo ad esponente irrazionale.



Ora facciamo alcune precisazioni.

La prima precisazione è che valgono, anche per lepotenze di un numero reale positivo ad esponente irrazionale, le PROPRIETA' delle POTENZE studiate nell'ambito dei numeri naturali.



La seconda precisazione è che sono ESCLUSE le potenze con BASE NEGATIVA. Infatti abbiamo sempre parlato di potenze di un numero reale positivo ad esponente irrazionale. Vediamone il perché.

Supponiamo di voler calcolare

Potenze di un numero reale con esponente irrazionale

Ora sappiamo che

Radice quadrata di due

Quindi si tratta di fare:

(-1)1,4142135.....

Possiamo anche scrivere

1,4142135... = 1 + 0,4 + 0,01 + 0,004 + 0,0002 + 0,00001 + 0,000003 +

0,0000005 + ......

Pertanto si può scrivere

(-1)1,4142135..... = (-1)1 · (-1)0,4 · (-1)0,01 · (-1)0,004 · (-1)0,0002 · (-1)0,00001

· (-1)0,000003 · (-1)0,0000005 · .......



Ora, dovendo moltiplicare un numero infinito di fattori tutti negativi, come facciamo a sapere se il risultato sarà positivo o negativo? Per questa ragione si escludono le potenze con base negativa.



Si ricorda infine che, per

Qualunque a appartenente ai reali 1 elevato ad a è uguale ad 1

che si legge

per qualunque a appartenente ai reali, 1 elevato ad a è uguale ad 1.

 
 
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