POTENZE DI NUMERI RELATIVI CON ESPONENTE NEGATIVO

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

Supponiamo di avere la seguente frazione:

divisione tra due potenze di egual base

Come sappiamo una frazione può essere trasformata in un'altra equivalente, moltiplicando o dividendo sia il numeratore che il denominatore per uno stesso numero diverso da zero.

Vogliamo, allora, trasformare la nostra frazione in un'altra equivalente e per fare questo dividiamo numeratore e denominatore per 57, come segue:

frazione equivalente



A questo punto eseguiamo la divisione posta a numeratore e quella posta a denominatore.

A numeratore dovremo eseguire 57 : 57. Ovviamente, poiché si tratta di dividere un numero per se stesso, il risultato sarà 1.

A denominatore dovremo eseguire 59 : 57. Per le proprietà delle potenze dobbiamo eseguire il quoziente di due potenze aventi la stessa base.

Esso è uguale ad una potenza che ha per base la stessa base, e per esponente la differenza degli esponenti. Quindi

59-7.

Per cui possiamo scrivere:

Proprietà delle potenze

Eseguendo quando indicato a denominatore, abbiamo:

Proprietà delle potenze

Quindi possiamo affermare che

Proprietà delle potenze

sono due frazioni equivalenti tra loro.



Ora proviamo a scrivere la prima frazione (57/59) in modo diverso.

Possiamo, cioè, scrivere:

57 : 59.

Anche in questo caso ci troviamo di fronte al quoziente di due potenze aventi la stessa base. Esso è uguale ad una potenza che ha per base la stessa base, e per esponente la differenza degli esponenti. Quindi:

57 : 59 = 57-9 = 5-2 .

Quindi possiamo dire che

Proprietà delle potenze

sono tre modi diversi di scrivere lo stesso valore.

Ora osserviamo meglio questi tre valori e in particolare gli ultimi due.

potenze ad esponente negativo

Possiamo quindi affermare che scrivere:

5-2
e scrivere
1/52
è esattamente la STESSA COSA.



Quindi possiamo dire che la potenza ad esponente negativo è uguale ad una frazione che ha per numeratore l'unità e per denominatore la potenza della stessa base con esponente positivo.

Esempio:

potenza con esponente negativo

e ancora:

potenze ad esponente negativo



Più in generale, quindi, possiamo scrivere:

potenza con esponente negativo

Le potenze con ESPONENTE INTERO NEGATIVO godono di tutte le proprietà delle POTENZE AD ESPONENTE INTERO POSITIVO.



Quindi valgono le seguenti proprietà:

  1. Il prodotto di due o più potenze aventi la stessa base è una potenza della stessa base con esponente uguale alla somma degli esponenti.

    Quindi:

    a-m a-n = a (-m)+(-n) = a -m-n

    Esempio:

    Proprietà delle potenze di numeri relativi con esponente negativo



  2. Il quoziente di due o più potenze aventi la stessa base è una potenza della stessa base con esponente uguale alla differenza degli esponenti

    Quindi:

    a-m : a-n = a (-m)-(-n) = a-m+n

    Esempio:

    quoziente di potenze aventi la stessa base



  3. La potenza di una potenza è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti.

    Quindi:

    (a-m)-n = a (-m)(-n)

    Esempio:

    (-3-2)-3 = (-3)(-2)(-3) = (-3)6 = +729.



  4. Il prodotto tra due o più potenze aventi gli stessi esponenti è uguale ad una potenza che ha per base il prodotto delle basi e per esponente lo stesso esponente.

    Quindi:

    a-m b-m = (a b)-m

    Esempio:

    prodotto di potenze aventi lo stesso esponente



  5. Il quoziente tra due potenze aventi gli stessi esponenti è uguale ad una potenza che ha per base il quoziente delle basi e per esponente lo stesso esponente.

    Quindi:

    a-m : b-m = (a : b)-m .

    Esempio:

    quoziente di potenze aventi lo stesso esponente




Le proprietà appena viste VALGONO ANCHE per le operazioni su potenze di numeri relativi che hanno ALCUNI ESPONENTI POSITIVI e ALTRI ESPONENTI NEGATIVI.

Esempio:

(-2)5 : (-2)-3 = (-2)5-(-3) = (-2)5+3 = (-2)8 = +256.

 
Per approfondire questo argomento, leggi:
 
Esercizi su questo argomento:
 
 
 
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