DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO SPURIE

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

Continuiamo il nostro esame delle disequazioni di secondo grado incomplete e vediamo come si risolvono le disequazione che si presentano nella forma

ax2 + bx > 0

oppure nella forma

ax2 + bx < 0.



Queste disequazioni sono dette DISEQUAZIONI di SECONDO GRADO SPURIE e sono caratterizzate dalla assenza del termine noto c.

Vediamo come vanno risolte, prendendo in considerazione la disequazione

ax2 + bx > 0.

Ovviamente ciò che diremo varrà, con le opportune modifiche, anche nel caso in cui il segno della disequazione sia minore (<) oppure maggiore uguale () o minore uguale ().



Per risolvere la nostra disequazione dobbiamo:

  1. METTERE in EVIDENZA la x

    x (ax + b) > 0

  2. RISOLVERE separatamente le DUE DISEQUAZIONI

    x > 0

    e

    ax + b > 0

  3. STUDIARE il SEGNO del PRODOTTO e cercare i valori della x che lo rendono positivo.

Vediamo un esempio.

4x2 + 2x > 0.

Ci troviamo di fronte ad una disequazione di secondo grado spuria perché manca il termine noto.



Effettuiamo il raccoglimento a fattore comune. In questo caso non mettiamo in evidenza solo la x, ma mettiamo in evidenza 2x dato che i coefficiente 4 e 2 sono entrambi divisibili per 2:

2x (2x + 1) > 0.



Ora andiamo a risolvere separatamente:

2x > 0

2x + 1 > 0.



Avremo:

2x > 0 --> x > 0

2x + 1 > 0 --> 2x > - 1 --> x > -1/2.



Riportiamo i due risultati su un grafico e procediamo con lo studio dei segni:

Risoluzione disequazioni di secondo grado spurie



La nostra disequazione è positiva quando:

x < -1/2

x > 0.





Passiamo ad un altro esempio:

x2 - 3x < 0.



Mettiamo in evidenza la x:

x (x - 3) < 0.



Ora andiamo a risolvere separatamente:

x > 0

x - 3 > 0.



Avremo:

x > 0

x - 3 > 0 --> x > 3.



Riportiamo i due risultati su un grafico e procediamo con lo studio dei segni:

Risoluzione disequazioni di secondo grado spurie



La nostra disequazione è negativa quando:

0 < x < 3.





Vediamo un ultimo esempio:

-5x2 + 10x≥ 0.



Mettiamo in evidenza 5x:

5x (-x + 2) ≥ 0.



Ora andiamo a risolvere separatamente:

5x ≥ 0

-x + 2 ≥ 0.



Avremo:

5x ≥ 0 --> x ≥ 0

-x +2 ≥ 0 --> x -2 ≤ 0 ---> x ≤ 2.



Riportiamo i due risultati su un grafico e procediamo con lo studio dei segni:

Risoluzione disequazioni di secondo grado spurie



La nostra disequazione è positiva quando:

0 ≤ x ≤ 2.



Gli estremi vanno compresi nella soluzione dato che, quando x = 0, uno dei due fattori si annulla e, per la legge di annullamento del prodotto, tutto il prodotto sarà uguale a zero, e siccome noi cerchiamo i valori di x per i quali la disequazione è positiva o uguale a zero, tale valore va compreso nelle soluzioni ammissibili. La stessa cosa accade quando x = 2.

 
 
 
Il nostro sito collabora ad una ricerca condotta dall'Università dell'Aquila e dall'Università di Pavia sulla didattica della matematica. Ti saremmo grati se volessi dedicarci alcuni minuti rispondendo ad un breve questionario.

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