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DISEQUAZIONI di secondo grado SPURIE

 

Per comprendere  

 

Continuiamo il nostro esame delle disequazioni di secondo grado incomplete e vediamo come si risolvono le disequazione che si presentano nella forma

 

ax2 + bx > 0

 

oppure nella forma

 

ax2 + bx < 0.

 

 

Queste disequazioni sono dette DISEQUAZIONI di SECONDO GRADO SPURIE e sono caratterizzate dalla assenza del termine noto c.

 

Vediamo come vanno risolte, prendendo in considerazione la disequazione 

ax2 + bx > 0.

 

Ovviamente ciò che diremo varrà, con le opportune modifiche, anche nel caso in cui il segno della disequazione sia minore ( < ) oppure maggiore uguale ( ) o minore uguale ( ≤ ).

 

 

Per risolvere la nostra disequazione dobbiamo:

  1. METTERE in EVIDENZA la x

x (ax + b) > 0

 

  1. RISOLVERE separatamente le DUE DISEQUAZIONI

x > 0

e

ax + b > 0

 

  1. STUDIARE il SEGNO del PRODOTTO e cercare i valori della x che lo rendono positivo.

 

 

 

Vediamo un esempio.

4x2 + 2x > 0.

Ci troviamo di fronte ad una disequazione di secondo grado spuria perché manca il termine noto.

 

Effettuiamo il raccoglimento a fattore comune. In questo caso non mettiamo in evidenza solo la x, ma mettiamo in evidenza 2x dato che i coefficiente 4 e 2 sono entrambi divisibili per 2:

2x (2x + 1) > 0.

 

Ora andiamo a risolvere separatamente:

2x > 0

2x + 1 > 0.

 

Avremo:

2x > 0  -->  x > 0

2x + 1 > 0   --> 2x > - 1 --> x > -1/2.

 

 

Riportiamo i due risultati su un grafico e procediamo con lo studio dei segni:

Risoluzione disequazioni di secondo grado spurie

 

La nostra disequazione è positiva quando:

x < -1/2

x > 0.

 

 

 

Passiamo ad un altro esempio:

x2 - 3x < 0.

 

Mettiamo in evidenza la x:

x (x - 3) < 0.

 

Ora andiamo a risolvere separatamente:

x > 0

x - 3 > 0.

 

Avremo:

x > 0

x - 3 > 0   -->  x > 3.

 

 

Riportiamo i due risultati su un grafico e procediamo con lo studio dei segni:

Risoluzione disequazioni di secondo grado spurie

 

La nostra disequazione è negativa quando:

0 < x < 3.

 

 

 

 

Vediamo un ultimo esempio:

-5x2 + 10x  ≥ 0.

 

Mettiamo in evidenza 5x:

5x (-x + 2) ≥ 0.

 

Ora andiamo a risolvere separatamente:

5x ≥ 0

-x + 2 0.

 

Avremo:

5x ≥ 0  -->  x ≥ 0

-x +2 ≥ 0  --> x -2 ≤ 0  ---> x 2.

 

 

Riportiamo i due risultati su un grafico e procediamo con lo studio dei segni:

Risoluzione disequazioni di secondo grado spurie

 

La nostra disequazione è positiva quando:

0 ≤  x 2.

 

Gli estremi vanno compresi nella soluzione dato che, quando x = 0, uno dei due fattori si annulla e, per la legge di annullamento del prodotto, tutto il prodotto sarà uguale a zero, e siccome noi cerchiamo i valori di x per i quali la disequazione è positiva o uguale a zero, tale valore va compreso nelle soluzioni ammissibili. La stessa cosa accade quando  x = 2.

 

 

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