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DISEQUAZIONI di secondo grado MONOMIE

 

Per comprendere  

 

Concludiamo il nostro esame delle disequazioni di secondo grado incomplete parlando delle DISEQUAZIONI MONOMIE dette anche DISEQUAZIONI IMMEDIATE.

Queste disequazioni si presentano nel modo seguente:

 

ax2 > 0

 

oppure

 

ax2 < 0.

 

Chiaramente al posto del segno maggiore ci potrebbe essere il segno di  maggiore uguale ( ), così come al posto del segno minore ci potrebbe essere il segno di minore uguale ( ≤ ).

 

Possiamo immaginare una disequazione monomia scritta sotto forma di prodotto di più fattori, nel modo seguente:

ax2 > 0

diventa

a · x · x > 0.

 

Quindi si tratta di comprendere qual è il SEGNO del prodotto.

 

Partiamo dalla disequazione del tipo: 

ax2 > 0.

 

Facciamo le nostre considerazioni:

  • x2 è sempre positivo sia nel caso in cui la x è positiva, che nel caso in cui essa è negativa;

  • se a è positivo, il prodotto tra due termini positivi è anch'esso positivo e la disequazione è verificata;

  • se a è negativo, il prodotto tra un termine positivo e uno negativo è negativo e la disequazione non è mai verificata.

Un discorso a parte va fatto per il caso in cui 

x = 0.

In questo caso 

x2 = 0

e

a · 0 = 0.

Di conseguenza:

  • se il segno della disequazione è maggiore ( > ) occorre escludere dalle possibili soluzioni il caso in cui x = 0;

  • se il segno della disequazione è maggiore o uguale ( ) occorre includere tra le possibili soluzioni il caso in cui x = 0.

 

 

 

Passiamo al caso in cui la disequazione monomia si presenti così:

ax2 < 0.

Essa diventa

a · x · x < 0.

 

 

In questo caso avremo che:

  • x2 è sempre positivo sia nel caso in cui la x è positiva, che nel caso in cui essa è negativa;

  • se a è positivo, il prodotto tra due termini positivi è anch'esso positivo e la disequazione non è mai verificata;

  • se a è negativo, il prodotto tra un termine positivo e uno negativo è negativo e la disequazione è sempre verificata.

 

Mentre se 

x = 0

avremo che 

x2 = 0

e

a · 0 = 0.

Di conseguenza:

  • se il segno della disequazione è minore ( < ) occorre escludere dalle possibili soluzioni il caso in cui x = 0;

  • se il segno della disequazione è maggiore o uguale ( ) occorre includere tra le possibili soluzioni il caso in cui x = 0.

 

 

 

 

Vediamo alcuni esempi:

4x2 > 0.

Essendo x2 sempre positivo, ed essendo anche 4 positivo, il prodotto sarà sempre positivo tranne il caso in cui x = 0. Quindi la soluzione è data da qualsiasi valore di x diverso da zero.

 

Ora esaminiamo il caso:

- 3x2 ≥ 0.

Essendo x2 sempre positivo, ed essendo -3 sempre negativo, il prodotto sarà sempre negativo e quindi la disequazione non sarà mai verificata tranne nel caso in cui x = 0: in questo caso, infatti, la disequazione si annulla ed è verificata. Quindi l'unica soluzione possibile è 

x = 0

 

 

 

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