RAPPRESENTAZIONE DELLE SOLUZIONI DI UNA DISEQUAZIONE

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

Nella lezione precedente abbiamo visto come possiamo risolvere una DISEQUAZIONE NUMERICA INTERA.

In questa lezione vedremo, invece, come è possibile RAPPRESENTARE le SOLUZIONI TROVATE.



Nell'esempio visto nella lezione precedente avevamo detto che la nostra disequazione era soddisfatta per i valori di

x > -3.

Il primo modo di indicare la soluzione della nostra disequazione è quella appena vista ovvero

x > -3.



Avremmo, però, potuto scrivere anche:

Rappresentazione delle soluzioni di una disequazione

Essa si legge:

l'insieme delle x appartenenti ad R tali che x è maggiore di -3.



Cerchiamo di capire meglio questi simboli e il loro significato:

Rappresentazione delle soluzioni di una disequazione



R è l'insieme dei NUMERI REALI. Esso comprende TUTTI I NUMERI esprimibili, con o senza la virgola, tramite il sistema decimale.



Un altro modo per rappresentare il risultato della nostra disequazione è quello GRAFICO.

In questo caso si disegna una RETTA ORIENTATA. Una retta si dice orientata quando su di essa è FISSATO UN VERSO di PERCORRENZA. Noi lo indichiamo con una FRECCIA che indica il verso da sinistra verso destra.

Retta orientata

Tale retta rappresenta i NUMERI REALI.

Su di essa riportiamo l'ORIGINE rappresentata dallo ZERO.

Retta orientata



Agli estremi della retta riportiamo i simboli

-∞

meno infinito

e

+∞

più infinito



Retta orientata

I due simboli meno infinito e più infinito non indicato un punto particolare della retta, ma solamente che la retta è illimitata, cioè infinita, sia a sinistra che a destra.



Per rappresentare graficamente le soluzioni di una disequazione si usano le seguenti convenzioni:

  • la LINEA CONTINUA indica i valori che SODDISFANO la disequazione;
  • la LINEA TRATTEGGIATA indica i valori che NON SODDISFANO la disequazione;
  • il CERCHIETTO PIENO indica che il valore è COMPRESO nelle soluzioni della disequazione;
  • il CERCHIETTO VUOTO indica che il valore NON è COMPRESO nelle soluzioni della disequazione.

Nel nostro esempio la soluzione sarebbe stata indicata così:

Rappresentazione grafica delle soluzioni di una disequazione

Esaminiamo il grafico:

  • la linea continua va dal valore -3 a più infinito: questi sono i valori che soddisfano la disequazione;
  • sul valore -3 c'è un cerchietto vuoto perché -3 non è compreso tra le soluzioni della disequazione;

  • la linea discontinua va da meno infinito a -3: questi valori non soddisfano la disequazione.


Vediamo, con qualche altro esempio, come si può indicare graficamente la soluzione di una disequazione:

SOLUZIONE DELLA DISEQUAZIONE RAPPRESENTANZIONE GRAFICA
x > +5 Rappresentazione grafica delle soluzioni di una disequazione

In questo caso la disequazione è verificata solamente per i valori superiori a +5. Il valore +5 è escluso per questo, su di esso, è stato indicato un cerchietto vuoto.

x ≤ -2 Rappresentazione grafica delle soluzioni di una disequazione

In questo caso la disequazione è verificata solamente per i valori inferiori a -2. Il valore -2 è incluso tra le soluzioni per questo, su di esso, è stato indicato un cerchietto pieno.

-1 ≤ x ≤ 0 Rappresentazione grafica delle soluzioni di una disequazione

In questo caso la disequazione è verificata per i valori compresi tra -1 e 0. Il valore -1 è incluso tra le soluzioni per questo, su di esso, è stato indicato un cerchietto pieno. Il valore 0, invece, è escluso dalle soluzioni e su di esso è stato indicato un cerchietto vuoto.



Un terzo modo per rappresentare i risultati di una disequazione è basato sul concetto di INTERVALLO NUMERICO.

Dati due numeri

a, b

con

a < b

chiamiamo INTERVALLO NUMERICO tutti i NUMERI COMPRESI tra a e b.

I numeri a e b si dicono ESTREMI dell'INTERVALLO:

  • a è l'ESTREMO INFERIORE;
  • b è l'ESTREMO SUPERIORE.

I due ESTREMI a e b possono essere COMPRESI o MENO nell'INTERVALLO.



L'INTERVALLO si dice:

  • CHIUSO se COMPRENDE i suoi estremi;
  • APERTO se NON COMPRENDE i suoi estremi.



Un INTERVALLO NUMERICO viene rappresentato con delle PARENTESI TONDE o QUADRE all'interno delle quali vengono scritti l'ESTREMO INFERIORE e quello SUPERIORE separati da un punto e virgola.

Si usano le PARENTESI TONDE se l'ESTREMO è ESCLUSO dall'intervallo.

Si usano le PARENTESI QUADRE se l'ESTREMO è INCLUSO nell'intervallo.



Quindi, la soluzione precedente

x > - 3

si può scrivere anche

(-3; +∞)

Esaminiamo quanto abbiamo scritto:

  • la nostra disequazione è verificata per i valori compresi nell'intervallo numerico -3, più infinito;
  • abbiamo usato le parentesi tonde perché sia -3, che più infinito non sono compresi nelle soluzioni della disequazione.

Vediamo, con qualche altro esempio, come si può indicare la soluzione di una disequazione con gli intervalli:

SOLUZIONE DELLA DISEQUAZIONE RAPPRESENTANZIONE GRAFICA
x > +5 (+5; +∞)

In questo caso la disequazione è verificata dai numeri compresi nell'intervallo +5, più infinito. Abbiamo usato le parentesi tonde perché sia +5, che più infinito non sono compresi nelle soluzioni della disequazione.

x ≤ -2 (-∞; -2]

In questo caso la disequazione è verificata dai numeri compresi nell'intervallo meno infinito, -2. Abbiamo usato dapprima una parentesi tonda, perché l'estremo inferiore, meno infinito, non è compreso tra le soluzioni. La seconda parentesi, invece, è quadra perché l'estremo superiore -2 è compreso nelle soluzioni della disequazione.

-1 ≤ x ≤ 0 [-1; 0)

In questo caso la disequazione è verificata dai numeri compresi nell'intervallo -1, 0. Abbiamo usato dapprima una parentesi quadra, perché l'estremo inferiore, -1, è compreso tra le soluzioni. La seconda parentesi, invece, è tonda perché l'estremo superiore 0 non è compreso nelle soluzioni della disequazione.

 
 
 
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