RAPPRESENTAZIONE DELLE SOLUZIONI DI UNA DISEQUAZIONE

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

Nella lezione precedente abbiamo visto come possiamo risolvere una DISEQUAZIONE NUMERICA INTERA.

In questa lezione vedremo, invece, come è possibile RAPPRESENTARE le SOLUZIONI TROVATE.



Nell'esempio visto nella lezione precedente avevamo detto che la nostra disequazione era soddisfatta per i valori di

x > -3.

Il primo modo di indicare la soluzione della nostra disequazione è quella appena vista ovvero

x > -3.



Avremmo, però, potuto scrivere anche:

Rappresentazione delle soluzioni di una disequazione

Essa si legge:

l'insieme delle x appartenenti ad R tali che x è maggiore di -3.



Cerchiamo di capire meglio questi simboli e il loro significato:

Rappresentazione delle soluzioni di una disequazione



R è l'insieme dei NUMERI REALI. Esso comprende TUTTI I NUMERI esprimibili, con o senza la virgola, tramite il sistema decimale.



Un altro modo per rappresentare il risultato della nostra disequazione è quello GRAFICO.

In questo caso si disegna una RETTA ORIENTATA. Una retta si dice orientata quando su di essa è FISSATO UN VERSO di PERCORRENZA. Noi lo indichiamo con una FRECCIA che indica il verso da sinistra verso destra.

Retta orientata

Tale retta rappresenta i NUMERI REALI.

Su di essa riportiamo l'ORIGINE rappresentata dallo ZERO.

Retta orientata



Agli estremi della retta riportiamo i simboli

meno infinito
meno infinito



più infinito
più infinito

Retta orientata

I due simboli meno infinito e più infinito non indicato un punto particolare della retta, ma solamente che la retta è illimitata, cioè infinita, sia a sinistra che a destra.



Per rappresentare graficamente le soluzioni di una disequazione si usano le seguenti convenzioni:

  • la LINEA CONTINUA indica i valori che SODDISFANO la disequazione;
  • la LINEA TRATTEGGIATA indica i valori che NON SODDISFANO la disequazione;
  • il CERCHIETTO PIENO indica che il valore è COMPRESO nelle soluzioni della disequazione;
  • il CERCHIETTO VUOTO indica che il valore NON è COMPRESO nelle soluzioni della disequazione.

Nel nostro esempio la soluzione sarebbe stata indicata così:

Rappresentazione grafica delle soluzioni di una disequazione

Esaminiamo il grafico:

  • la linea continua va dal valore -3 a più infinito: questi sono i valori che soddisfano la disequazione;
  • sul valore -3 c'è un cerchietto vuoto perché -3 non è compreso tra le soluzioni della disequazione;

  • la linea discontinua va da meno infinito a -3: questi valori non soddisfano la disequazione.


Vediamo, con qualche altro esempio, come si può indicare graficamente la soluzione di una disequazione:

SOLUZIONE DELLA DISEQUAZIONE RAPPRESENTANZIONE GRAFICA
x > +5 Rappresentazione grafica delle soluzioni di una disequazione

In questo caso la disequazione è verificata solamente per i valori superiori a +5. Il valore +5 è escluso per questo, su di esso, è stato indicato un cerchietto vuoto.

Rappresentazione grafica delle soluzioni di una disequazione Rappresentazione grafica delle soluzioni di una disequazione

In questo caso la disequazione è verificata solamente per i valori inferiori a -2. Il valore -2 è incluso tra le soluzioni per questo, su di esso, è stato indicato un cerchietto pieno.

Rappresentazione grafica delle soluzioni di una disequazione Rappresentazione grafica delle soluzioni di una disequazione

In questo caso la disequazione è verificata per i valori compresi tra -1 e 0. Il valore -1 è incluso tra le soluzioni per questo, su di esso, è stato indicato un cerchietto pieno. Il valore 0, invece, è escluso dalle soluzioni e su di esso è stato indicato un cerchietto vuoto.



Un terzo modo per rappresentare i risultati di una disequazione è basato sul concetto di INTERVALLO NUMERICO.

Dati due numeri

a, b

con

a < b

chiamiamo INTERVALLO NUMERICO tutti i NUMERI COMPRESI tra a e b.

I numeri a e b si dicono ESTREMI dell'INTERVALLO:

  • a è l'ESTREMO INFERIORE;
  • b è l'ESTREMO SUPERIORE.

I due ESTREMI a e b possono essere COMPRESI o MENO nell'INTERVALLO.



L'INTERVALLO si dice:

  • CHIUSO se COMPRENDE i suoi estremi;
  • APERTO se NON COMPRENDE i suoi estremi.



Un INTERVALLO NUMERICO viene rappresentato con delle PARENTESI TONDE o QUADRE all'interno delle quali vengono scritti l'ESTREMO INFERIORE e quello SUPERIORE separati da un punto e virgola.

Si usano le PARENTESI TONDE se l'ESTREMO è ESCLUSO dall'intervallo.

Si usano le PARENTESI QUADRE se l'ESTREMO è INCLUSO nell'intervallo.



Quindi, la soluzione precedente

x > - 3

si può scrivere anche

Rappresentazione delle soluzioni di una disequazione tramite gli intervalli numerici

Esaminiamo quanto abbiamo scritto:

  • la nostra disequazione è verificata per i valori compresi nell'intervallo numerico -3, più infinito;
  • abbiamo usato le parentesi tonde perché sia -3, che più infinito non sono compresi nelle soluzioni della disequazione.

Vediamo, con qualche altro esempio, come si può indicare la soluzione di una disequazione con gli intervalli:

SOLUZIONE DELLA DISEQUAZIONE RAPPRESENTANZIONE GRAFICA
x > +5 Rappresentazione delle soluzioni di una disequazione tramite gli intervalli numerici

In questo caso la disequazione è verificata dai numeri compresi nell'intervallo +5, più infinito. Abbiamo usato le parentesi tonde perché sia +5, che più infinito non sono compresi nelle soluzioni della disequazione.

Rappresentazione grafica delle soluzioni di una disequazione Rappresentazione delle soluzioni di una disequazione tramite gli intervalli numerici

In questo caso la disequazione è verificata dai numeri compresi nell'intervallo meno infinito, -2. Abbiamo usato dapprima una parentesi tonda, perché l'estremo inferiore, meno infinito, non è compreso tra le soluzioni. La seconda parentesi, invece, è quadra perché l'estremo superiore -2 è compreso nelle soluzioni della disequazione.

Rappresentazione grafica delle soluzioni di una disequazione Rappresentazione delle soluzioni di una disequazione tramite gli intervalli numerici

In questo caso la disequazione è verificata dai numeri compresi nell'intervallo -1, 0. Abbiamo usato dapprima una parentesi quadra, perché l'estremo inferiore, -1, è compreso tra le soluzioni. La seconda parentesi, invece, è tonda perché l'estremo superiore 0 non è compreso nelle soluzioni della disequazione.

 
 
 
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