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DISEQUAZIONI INTERE LETTERALI

 

Per comprendere  

 

Nelle lezioni precedenti abbiamo visto come si risolvono le DISEQUAZIONI INTERE NUMERICHE, cioè quelle disequazioni che, oltre alle incognite, contengono SOLAMENTE NUMERI.

Tuttavia, le disequazioni possono contenere, oltre alle incognite, anche delle ALTRE LETTERE: esse vengono considerate come dei NUMERI FISSI e prendono il nome di COSTATI. Queste disequazioni sono dette DISEQUAZIONI LETTERALI o DISEQUAZIONI PARAMETRICHE.

Un esempio di disequazione intera letterale potrebbe essere:

ax - b > 0.

 

La nostra INCOGNITA è la x;

mentre le lettere a, b sono considerate delle COSTANTI, cioè dei TERMINI NOTI.

 

Vediamo, allora, come si risolvono le disequazioni letterali.

Le regole per risolvere questo tipo di equazioni sono le stesse che abbiamo visto parlando delle disequazioni numeriche.

Tuttavia bisogna tener presente che trasformando una disequazione in un'altra equivalente occorre fare attenzione ad alcune condizioni da porre affinché la disequazione sia valida.

 

Cerchiamo di comprendere meglio questo concetto tornando al nostro esempio:

ax - b > 0.

Applicando il primo principio di equivalenza trasportiamo la b a secondo membro cambiandogli di segno. Avremo:

ax > b.

 

Applicando il secondo principio di equivalenza dividiamo entrambi i membri per a

Così facendo si potranno verificare varie situazioni:

  1. a > 0

Se a > 0, quindi se a è un numero positivo, per risolvere la disequazione dobbiamo dividere il primo e il secondo membro per un numero positivo. Il verso della disequazione non cambia.

La nostra disequazione dunque è DETERMINATA è la soluzione è data da 

x > b/a.

 

  1. a < 0

Se a < 0, quindi se a è un numero negativo, per risolvere la disequazione dobbiamo dividere il primo e il secondo membro per un numero negativo. Il verso della disequazione, quindi, cambia.

La nostra disequazione dunque è DETERMINATA è la soluzione è data da 

x < b/a.

 

  1. a = 0

Se a = 0, dobbiamo risolvere la disequazione

0·x > b.

Se b < 0, quindi se b è un numero negativo, la nostra disequazione è sempre verificata per qualunque valore di x, dato che zero è sempre maggiore di un numero negativo.

La nostra disequazione dunque è INDETERMINATA.

 

Se b > 0, quindi se b è un numero positivo, la nostra disequazione non è mai vera dato che zero è sempre minore di un numero positivo.

La nostra disequazione dunque è IMPOSSIBILE.

 

 

Ricapitolando la soluzione della nostra disequazione è la seguente:

 

DISEQUAZIONE: ax - b > 0

 

Se a > 0

 

Equazione DETERMINATA - Radice: x > b/a
Se a < 0

 

Equazione DETERMINATA - Radice: x < b/a
Se a = 0

e

b < 0 

 

Equazione INDETERMINATA 
Se a = 0

e

b > 0 

 

Equazione IMPOSSIBILE 

 

Ovviamente la discussione dei risultati ottenuti può variare da una disequazione all'altra.

 

Per chiarire i concetti esposti vediamo un altro esempio:

bx - b < 2.

 

Applicando il primo principio di equivalenza trasportiamo -b a secondo membro cambiandogli di segno. Avremo:

bx < 2 + b.

 

Applicando il secondo principio di equivalenza dividiamo entrambi i membri per b

Così facendo si potranno verificare varie situazioni:

  1. b > 0

Se b > 0, quindi se b è un numero positivo, per risolvere la disequazione dobbiamo dividere il primo e il secondo membro per un numero positivo. Il verso della disequazione non cambia.

La nostra disequazione dunque è DETERMINATA è la soluzione è data da 

x < (2 + b)/ b

x < 2/b + 1.

 

  1. b < 0

Se b < 0, quindi se b è un numero negativo, per risolvere la disequazione dobbiamo dividere il primo e il secondo membro per un numero negativo. Il verso della disequazione, quindi, cambia.

La nostra disequazione dunque è DETERMINATA è la soluzione è data da 

x > 2/b + 1.

 

  1. b = 0

Se b = 0, dobbiamo risolvere la disequazione

0·x < 2 + 0

0 < 2.

La nostra disequazione è sempre verificata per qualunque valore di x, dato che zero è sempre minore di due.

La nostra disequazione dunque è INDETERMINATA.

 

Ricapitolando:

DISEQUAZIONE: bx - b < 2

 

Se b > 0

 

Equazione DETERMINATA - Radice: x >2/b +1
Se b < 0

 

Equazione DETERMINATA - Radice: x > 2/b +1
Se b = 0 Equazione INDETERMINATA 

 

 

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