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EQUAZIONI LOGARITMICHE con logaritmi aventi BASI DIVERSE

 

 



Per comprendere  

 

Nelle lezioni precedenti abbiamo visto come risolvere i principali tipi di EQUAZIONI LOGARITMICHE. Esse erano tutte caratterizzate dalla presenza di logaritmi aventi sempre la stessa base, ma potrebbe capitare di dover risolvere delle equazioni logaritmiche nelle quali sono presenti vari logaritmi aventi BASI DIVERSE.

Come si procede in questi casi? 

E' semplice: bisogna applicare la FORMULA del CAMBIAMENTO DI BASE DEI LOGARITMI in modo da scriverli tutti nella stessa base. In questo modo si ricondurrà l'equazione ad una delle forme viste nelle lezioni precedenti e si procederà alla risoluzione nei modi consueti.

 

Esempio:

Equazioni logaritmiche con logaritmi aventi basi diverse

Poniamo le nostre condizioni di esistenza, ovvero che gli argomenti dei due logaritmi siano entrambi maggiori di zero:

Equazioni logaritmiche con logartimi aventi basi diverse

 

Notiamo, inoltre che, nell'equazione compare un radicale di indice pari occorre anche porre la condizione che il radicando sia positivo o uguale a zero, ma ciò è già implicito nella prima disequazione del nostro sistema. 

La soluzione del sistema è chiaramente

x > 0.

 

Ora passiamo alla soluzione della equazione logaritmica. Notiamo che in essa sono presenti due logaritmi:

  • uno con base 4;

  • l'altro con base 16.

 

Iniziamo applicando il TEOREMA della RADICE di un LOGARITMO e scriviamo:

Equazioni logaritmiche con logaritmi aventi basi diverse

 

 

Ora, ricordiamo che la FORMULA DEL CAMBIAMENTO DI BASE DEI LOGARITMI ci dice che

Formula del cambiamento di base dei logaritmi

 

Quindi scriviamo il logaritmo in base 16 di x sotto forma di logaritmo in base 4:

Formula del cambiamento di base dei logaritmi

 

Notiamo che a denominatore abbiamo

log4 16

che è uguale a 2. Quindi possiamo scrivere:

log4 16 = 2

 

Formula del cambiamento di base dei logaritmi

 

 

Nell'equazione logaritmica andiamo a sostituire al logaritmo in base 16 di x, il valore trovato:

Equazioni logaritmiche con logaritmi aventi basi diverse

 

A questo punto, a primo membro, mettiamo in evidenza il log4 x:

Equazioni logaritmiche con logaritmi aventi basi diverse

 

Ora, moltiplichiamo entrambi i membri dell'equazione per 8/11:

Equazioni logaritmiche con logaritmi aventi basi diverse

 

 

A questo punto ricorriamo alla definizione di logaritmo. Noi sappiamo che:

loga b = x

significa che

ax = b.

 

Questo significa che

log4 x = (1/2)

può essere scritto come

4(1/2) = x.

 

Ma noi sappiamo anche che scrivere

4(1/2)

equivale a scrivere

Equazioni logaritmiche con logaritmi aventi basi diverse

 

Quindi, la soluzione trovata è

x = 2.

 

Questa soluzione è perfettamente ammissibile poiché, essendo maggiore di zero, soddisfa le condizioni di esistenza.

 

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