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EQUAZIONI LOGARITMICHE con l'INCOGNITA nella BASE

 

 



Per comprendere  

 

Concludiamo l'esame dei metodi di risoluzione delle EQUAZIONI LOGARITMICHE parlando delle equazioni che contengono l'INCOGNITA nella BASE.

 

Imbattersi in questo tipo di equazioni non è molto frequente, e quando ci capiterà, molto probabilmente, si tratterà di equazioni non molto complesse.

Per risolvere questo tipo di equazioni occorrerà cercare di ricondurle ad una delle forma a noi note.

 

Qui esamineremo tre dei possibili modi in cui esse si possono presentare:

 

1° CASO

EQUAZIONE che contiene UN LOGARITMO con l'incognita nella base, AD UN MEMBRO  ed una COSTANTE ALL'ALTRO.

L'equazione assume la forma

logf(x)k = h

con 

k, h costanti.

 

Prima di procedere, dobbiamo porre come CONDIZIONE DI ESISTENZA che la BASE del logaritmo presente a primo membro sia MAGGIORE DI ZERO  e DIVERSA da 1. Ricordiamo, infatti, che la base di un logaritmo non può mai essere negativa, né uguale all'unità. 

 Equazioni logaritmiche con incognita nella base

 

Quindi andremo a cercare la soluzione della nostra equazione ricorrendo alla DEFINIZIONE di LOGARITMO.

Da essa sappiamo che, se

loga b = x

significa che

ax = b.

Quindi, nel nostro esempio, avremo che:

f(x)h = k.

 

A questo punto non ci resterà che risolvere.

 

Esempio:

logx 9 = 2.

Poniamo le condizioni di esistenza:

Equazioni logaritmiche con incognita nella base

 

Quindi, ricorrendo alla definizione di logaritmo, possiamo scrivere:

x2 = 9.

 

Poniamo sotto radice quadrata, primo e secondo membro, ed abbiamo:

Equazioni logaritmiche con incognita nella base

La soluzioni trovata è perfettamente compatibile con le condizioni di esistenza poste.

 

 

2° CASO

EQUAZIONE CHE SI PRESENTA IN FORMA DIVERSA RISPETTO ALLA PRECEDENTE.

 

Anche in questo caso bisogna porre la CONDIZIONE DI ESISTENZA che tutte le BASI dei logaritmi presenti nell'equazione siano MAGGIORI DI ZERO  e DIVERSE da 1.

Una volta poste queste condizioni si tratterà, come sempre, di cercare di trasformare l'equazione in una delle forme note e procedere alla sua soluzione. Spesso può essere utile l'uso della formula del cambiamento di base dei logaritmi.

Esempio:

log(x+1) 30 = log5 20.

Iniziamo col porre le condizioni di esistenza, ovvero che la base del logaritmo sia maggiore di zero e diversa da 1:

Equazione logaritmica con incognita nella base

 

Ora applichiamo la formula del cambiamento di base dei logaritmi:

Formula del cambiamento di base di logaritmi

 

e scriviamo il logaritmo in base x+1 come logaritmo in base 5:

Equazione logaritmica con incognita nella base

 

Sostituiamo nell'equazione e scriviamo:

Equazione logaritmica con incognita nella base

 

Possiamo tranquillamente compiere questo passaggio dato che abbiamo posto nelle CONDIZIONI DI ESISTENZA che 

x + 1 ≠ 1.

Perché questo?

Perché, solamente nel caso in cui l'argomento del logaritmo è pari ad 1 (qualunque sia la sua base), il logaritmo è pari a zero e, quindi, il nostro denominatore sarebbe uguale a zero. Ma dato che noi abbiamo posto nelle condizioni di partenza che 

x + 1 ≠ 1

sicuramente il suo logaritmo sarà diverso da zero.

 

Ora dobbiamo togliere l'incognita dal denominatore: lo facciamo moltiplicando entrambi i membri per

log5 (x+1)

in modo da ottenere:

Equazione logaritmica con incognita nella base

 

 

A questo punto dividiamo, primo e secondo membro, per 

log5 20

in modo da isolare il logaritmo contenente l'incognita nell'argomento:

Equazione logaritmica con incognita nella base

 

Notiamo che, a primo membro abbiamo il rapporto tra due logaritmi che hanno come argomento, entrambi, un numero: quindi abbiamo un numero. Di conseguenza, la nostra equazione è riconducibile al caso in cui abbiamo ad un membro un logaritmo e all'altro membro una costante e, come sappiamo,  questo tipo di equazioni si risolvono ricorrendo alla definizione di logaritmo.

Scriviamo l'equazione appena vista nella forma a noi più nota, per cercare di non confonderci troppo le idee:

Equazione logaritmica con incognita nella base

 

Come abbiamo ripetuto più volte, dire che

loga b = x

significa che

ax = b.

Quindi, nel nostro esempio, avremo che:

Equazione logaritmica con incognita nella base

 

Per trovare il valore della x, portiamo a primo membro l'1, cambiandogli di segno:

Equazione logaritmica con incognita nella base

 

Abbiamo così determinato il valore della nostra x.

Ora, andiamo a verificare che la soluzione trovata sia accettabile in base alle condizioni di esistenza dell'equazione poste inizialmente, ovvero che essa sia maggiore di -1 e diverso da zero.

Il logaritmo in base 5 di 30 è all'incirca pari a 2,11.

Il logaritmo in base 5 di 20 è all'incirca pari a 1,86.

Il loro rapporto è pari a 1,13: quindi un valore superiore all'unità.

Elevando il 5 ad un valore superiore ad 1 otteniamo un numero maggiore di 5. Quindi, se sottraiamo 1, abbiamo senz'altro un valore maggiore di -1 e diverso da zero, di conseguenza il risultato ottenuto è accettabile.

 

 

3° CASO

EQUAZIONE CHE CONTIENE L'INCOGNITA SIA NELLA BASE CHE NELL'ARGOMENTO.

 

Potrebbe accadere che l'equazione contenga l'INCOGNITA non solo nella BASE, ma anche nell'ARGOMENTO. In questo caso dobbiamo porre come CONDIZIONI DI ESISTENZA non solo che le BASI di tutti i logaritmi presenti nell'equazione siano MAGGIORI DI ZERO  e DIVERSE da 1, ma anche che gli ARGOMENTI contenenti l'incognita siano MAGGIORI DI ZERO.

Il passo successivo sarà quello di cercare di eliminare l'incognita dalla base del logaritmo utilizzando opportunamente la FORMULA DEL CAMBIAMENTO DI BASE DEI LOGARITMI.

 

Esempio:

logx (x + 6) = 2.

 

L'incognita è presente sia nella base del logaritmo che nell'argomento. Andiamo a porre allora come condizioni che la base sia maggiore di zero e diversa da 1 e l'argomento sia maggiore di zero. Quindi le condizioni di esistenza sono date dal sistema:

Equazione logaritmica con incognita nella base e nell'argomento

 

Graficamente abbiamo:

Equazione logaritmica con incognita nella base e nell'argomento

Quindi, affinché la soluzione sia valida è necessario che essa sia maggiore di zero e diversa da 1.

 

A questo punto usiamo la formula del cambiamento della base del logaritmo, in modo da trasformare il nostro logaritmo in base x in un logaritmo che non contenga l'incognita nella base: la scelta è arbitraria. Noi scegliamo il logaritmo naturale.

Quindi la formula

Formula del cambiamento di base di logaritmi

nel nostro caso diventa:

Equazioni logaritmiche con l'incognita nella base e nell'argomento

Sostituendo nella nostra equazione di partenza avremo:

Equazioni logaritmiche con l'incognita nella base e nell'argomento

 

Ora dobbiamo togliere l'incognita dal denominatore e lo facciamo moltiplicando, primo e secondo membro, per il logaritmo di x:

Equazioni logaritmiche con l'incognita nella base e nell'argomento

 

 

Applicando il teorema della potenza di un logaritmo, possiamo scrivere:

log (x + 6) = log x2.

A questo punto abbiamo un'equazione con un logaritmo a primo membro, ed un logaritmo, avente la stessa base, a secondo membro. Essa si risolve eguagliando gli argomenti, ovvero:

x + 6 = x2.

 

Portiamo x2 al primo membro cambiando di segno e risolviamo:

- x2 + x + 6 = 0

 x2 - x - 6 = 0

Equazioni logaritmiche con l'incognita nella base e nell'argomento

 

Mettiamo a confronto le due soluzioni ottenute con le condizioni di esistenza dell'equazione: avevamo detto che la soluzione trovata sarebbe stata ammissibile solamente se maggiore di zero e diversa da 1. E' chiaro, allora, che la prima soluzione non è ammissibile.

Quindi il risultato della nostra equazione è 

x = 3.

 

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