Equazioni logaritmiche sotto forma di uguaglianza di un logaritmo ed una costante

EQUAZIONI LOGARITMICHE sotto forma di uguaglianza di un logaritmo e di una costante

Proseguiamo il nostro esame sui metodi di risoluzione delle EQUAZIONI LOGARITMICHE per vedere come procedere nel caso in cui l'equazione, mediante la definizione stessa di logaritmo o mediante le proprietà e i teoremi dei logaritmi, può essere ricondotta alla forma

log_a f(x) = k

con

k costante.

In pratica ci troviamo con un'equazione che ha, ad un membro un logaritmo, e all'altro membro una costante (k).

Per risolvere questo tipo di equazione ricorriamo alla DEFINIZIONE di LOGARITMO.

Noi sappiamo che, se

log_a b = x

significa che

a^x = b.

Quindi

log_a f(x) = k

può essere scritto come

a^k = f(x).

Ovviamente la condizione è sempre che

a > 0

a ≠ 1.

Così come abbiamo visto nella lezione precedente, anche in questo caso, dovremo fare attenzione perché le soluzioni ottenute potrebbero non essere anche soluzioni della equazione logaritmica di partenza, infatti,tutti gli argomenti dei logaritmi presenti nella equazione di partenza devono essere maggiori di zero.

Quindi, così come abbiamo visto nella lezione precedente, possiamo procedere in due modi diversi:

possiamo risolvere l'equazione

a^k = f(x)

e successivamente andare a SOSTITUIRE i VALORI TROVATI nell'equazione di partenza

log_a f(x) = k

in modo da verificare che i logaritmi ottenuti siano validi. Se, in seguito alla sostituzione, anche uno solo degli argomenti non è positivo, la soluzione non è accettabile;

oppure possiamo determinare il CAMPO DI ESISTENZA dell'equazione risolvendo un SISTEMA formato da tante DISEQUAZIONI quanti sono i logaritmi presenti nell'equazione. Ogni equazione dovrà porre la condizione che l'ARGOMENTO di ciascun logaritmo sia POSITIVO.
Le soluzioni dell'equazione
a^k = f(x)

possono essere accettate solamente se appartengono al campo di esistenza.

Esempio:

log₂(3x-2) - 3 = log₂10x - log₂5x.

Iniziamo col trasformare l'equazione applicando la definizione di logaritmo e le proprietà e i teoremi sui logaritmi.

A secondo membro, applichiamo il TEOREMA SUL RAPPORTO DI LOGARITMI:

log₂(3x-2) - 3 = log₂(10x/ 5x)

da cui otteniamo

log₂(3x-2) - 3 = log₂2.

E poiché

log₂2 = 1

possiamo scrivere:

log₂(3x-2) - 3 = 1

da cui, portando il -3 a secondo membro e cambiando di segno, otteniamo:

log₂(3x-2) = 1 + 3

log₂(3x-2) = 4.

Abbiamo così un'equazione nella quale compare un logaritmo a primo membro ed una costante a secondo membro.

Ora passiamo, usando la definizione di logaritmo, all'esponenziale e scriviamo:

2⁴ = 3x - 2.

A questo punto possiamo seguire due strade:

la prima consiste nel trovare la soluzione e sostituirla nell'equazione di partenza per verificare che l'argomento di tutti i logaritmi sia positivo;

la seconda consiste nel determinare a priori il campo di esistenza dell'equazione, quindi risolverla e vedere se la soluzione trovata rientra in tale campo di esistenza.

Seguiamo questa seconda soluzione.

Il campo di esistenza dell'equazione lo si ottiene risolvendo il seguente sistema:

Risoluzione equazioni logaritmiche