REGOLA DI CRAMER
- Sistemi di equazioni
- Risoluzione di un sistema di equazioni lineari
- Formule per la soluzione di un sistema di equazioni
- Moltiplicazione
- Equazioni ridotte a forma normale
Nella lezione precedente abbiamo visto che, dato il sistema:
dove
a, b, c, a', b', c'
sono VALORI NUMERICI, la soluzione di esso può essere ottenuta con la seguente formula:
Vediamo ora come la REGOLA di CRAMER, che prende il nome dal matematico svizzero, può aiutarci a risolvere le equazioni lineari di due equazioni in due incognite.
I COEFFICIENTI del nostro sistema e i termini noti possono essere scritti in una tabella che prende il nome di MATRICE, nel modo che segue:
In pratica abbiamo scritto:
- sulla prima riga i coefficienti delle incognite e il termine noto della prima equazione;
- sulla seconda riga i coefficienti delle incognite e il termine noto della seconda equazione.
Inoltre abbiamo indicato:
- nella prima colonna i coefficienti della x;
- nella seconda colonna i coefficienti della y;
- nella terza colonna i termini noti.
Quella che abbiamo scritto si chiama MATRICE del SISTEMA.
Per trovare il valore della x costruiamo una frazione che ha, a DENOMINATORE, un numero detto DETERMINANTE dei COEFFICIENTI del sistema o più brevemente DETERMINANTE del sistema.
Esso viene indicato con il simbolo:
Come potete notare abbiamo preso solamente i coefficienti delle due equazioni, in parole povere le prime due colonne della matrice.
Avrete inoltre osservato che il simbolo di determinante è diverso rispetto al simbolo di matrice.
Il simbolo che abbiamo appena indicato equivale a scrivere la seguente operazione:
ab' - ba'.
In pratica moltiplichiamo i numeri riportati su una diagonale
e sottraiamo il prodotto dei numeri indicati sull'altra diagonale
Al NUMERATORE metteremo, invece, il DETERMINANTE che si ottiene dal denominatore sostituendo ai coefficienti della x i corrispondenti TERMINI NOTI. Ovvero:
Anche in questo caso il valore corrispondente è:
cb' - bc'.
In pratica moltiplichiamo i numeri riportati su una diagonalee sottraiamo quelli riportati sull'altra diagonale:
Quindi il valore della x è:
La y sarà data da una frazione che ha, al DENOMINATORE, sempre il DETERMINANTE del SISTEMA mentre a NUMERATORE metteremo il DETERMINANTE che si ottiene dal denominatore sostituendo ai coefficienti della y i corrispondenti TERMINI NOTI. Quindi:
Notiamo che questi risultati sono del tutto simili a quelli che abbiamo visto nella lezione precedente, infatti:
Come possiamo vedere alcuni prodotti
sono indicati con un ordine diverso, ma sappiamo dalle proprietà
delle moltiplicazioni che cambiando l'ordine dei fattori il
prodotto non cambia.
Quindi, ricapitolando, la REGOLA di CRAMER afferma che il VALORE di ciascuna INCOGNITA di un sistema di due equazioni di primo grado in due incognite, ridotto a forma normale, è uguale ad una FRAZIONE che ha :
- per DENOMINATORE il DETERMINANTE del SISTEMA;
- per NUMERATORE il DETERMINANTE che si ottiene dal denominatore SOSTITUENDO AI COEFFICIENTI DELL'INCOGNITA che si vuole calcolare i CORRISPONDENTI TERMINI NOTI.
Nella prossima lezione vedremo come applicare concretamente la regola di Cramer.
- Matrice
- Determinante di una matrice quadrata
- Calcolo del determinante di una matrice di ordine 2
- Sistemi di equazioni e matrici
- Teorema di Cramer
