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PRODOTTO di RADICALI

 



Per comprendere  

 

Iniziamo ad occuparci delle OPERAZIONI con i RADICALI partendo dal PRODOTTO DI RADICALI.

Dati due radicali, aventi lo STESSO INDICE n, con n appartenente ai numeri NATURALI e DIVERSO DA ZERO,  il loro PRODOTTO è un RADICALE che ha:

  • per indice lo STESSO INDICE dei radicali dati;

  • per radicando il PRODOTTO dei RADICANDI dati.

 

Ovviamente, dobbiamo sempre porre la condizione che:

  • se n è PARI, a e b devono essere MAGGIORI o UGUALI a ZERO;

  • se n è DISPARI, è sufficiente che a e b appartengano ai REALI.

In altre parole:

Prodotto di radicali aventi lo stesso indice

che si legge

il prodotto della radice ennesima di a per la radice ennesima di b 

è uguale

alla radice ennesima di a per b

con

n appartenente ad enne asterisco (ovvero l'insieme dei numeri naturali escluso lo zero)

e,

se n è pari con a maggiore o uguale a zero e b maggiore o uguale a zero 

se n è dispari con a appartenente ai reali e b appartenente ai reali.

 

Dimostriamo la regola che abbiamo appena enunciato.

Sappiamo che un radicale può essere indicato come potenza con esponente frazionario, quindi:

Prodotto di radicali aventi lo stesso indice

 

Applicando le proprietà delle potenze possiamo scrivere:

Prodotto di radicali aventi lo stesso indice

 

Ma, sempre ricorrendo alle potenze con esponente frazionario, possiamo scrivere:

Prodotto di radicali aventi lo stesso indice

 

Quindi possiamo dire che:

Prodotto di radicali aventi lo stesso indice

 

Facciamo alcuni esempi.

Indice dispari: è sufficiente che a e b appartengano ai reali.

Prodotto di radicali aventi lo stesso indice

 

Indice pari: è necessario che a e b siano positivi o uguali a zero.

Prodotto di radicali aventi lo stesso indice

 

Indice dispari: è sufficiente che a e b appartengano ai reali.

Prodotto di radicali aventi lo stesso indice

Questa l'avremmo potuta risolvere anche così:

Prodotto di radicali aventi lo stesso indice

 

 

La regola appena vista presuppone che i radicali da moltiplicare abbiamo lo STESSO INDICE. Pertanto, nel caso si debbano moltiplicare tra loro radicali con INDICE DIVERSO, è necessario dapprima RIDURRE I RADICALI allo STESSO INDICE e successivamente procedere come abbiamo appena visto.

Inoltre la regola vale anche nel caso del PRODOTTO di TRE o PIU' RADICALI aventi lo stesso indice.

 

Ovviamente, per la proprietà simmetrica dell'uguaglianza, possiamo anche scrivere che:

Prodotto di radicali aventi lo stesso indice

ponendo sempre attenzione alle condizioni di esistenza dei radicali.

Esempio:

Prodotto di radicali aventi lo stesso indice

 

 

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