PRODOTTO TRA RADICALI

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

Iniziamo ad occuparci delle OPERAZIONI con i RADICALI partendo dal PRODOTTO DI RADICALI.

Dati due radicali, aventi lo STESSO INDICE n, con n appartenente ai numeri NATURALI e DIVERSO DA ZERO, il loro PRODOTTO è un RADICALE che ha:

  • per indice lo STESSO INDICE dei radicali dati;
  • per radicando il PRODOTTO dei RADICANDI dati.

Ovviamente, dobbiamo sempre porre la condizione che:

  • se n è PARI, a e b devono essere MAGGIORI o UGUALI a ZERO;
  • se n è DISPARI, è sufficiente che a e b appartengano ai REALI.

In altre parole:

Prodotto di radicali aventi lo stesso indice

che si legge

il prodotto della radice ennesima di a per la radice ennesima di b

è uguale

alla radice ennesima di a per b

con

n appartenente ad enne asterisco (ovvero l'insieme dei numeri naturali escluso lo zero)

e,

se n è pari con a maggiore o uguale a zero e b maggiore o uguale a zero

se n è dispari con a appartenente ai reali e b appartenente ai reali.



Dimostriamo la regola che abbiamo appena enunciato.

Sappiamo che un radicale può essere indicato come potenza con esponente frazionario, quindi:

Prodotto di radicali aventi lo stesso indice



Applicando le proprietà delle potenze possiamo scrivere:

Prodotto di radicali aventi lo stesso indice



Ma, sempre ricorrendo alle potenze con esponente frazionario, possiamo scrivere:

Prodotto di radicali aventi lo stesso indice



Quindi possiamo dire che:

Prodotto di radicali aventi lo stesso indice



Facciamo alcuni esempi.

Indice dispari: è sufficiente che a e b appartengano ai reali.

Prodotto di radicali aventi lo stesso indice



Indice pari: è necessario che a e b siano positivi o uguali a zero.

Prodotto di radicali aventi lo stesso indice



Indice dispari: è sufficiente che a e b appartengano ai reali.

Prodotto di radicali aventi lo stesso indice

Questa l'avremmo potuta risolvere anche così:

Prodotto di radicali aventi lo stesso indice



La regola appena vista presuppone che i radicali da moltiplicare abbiamo lo STESSO INDICE. Pertanto, nel caso si debbano moltiplicare tra loro radicali con INDICE DIVERSO, è necessario dapprima RIDURRE I RADICALI allo STESSO INDICE e successivamente procedere come abbiamo appena visto.

Inoltre la regola vale anche nel caso del PRODOTTO di TRE o PIU' RADICALI aventi lo stesso indice.



Ovviamente, per la proprietà simmetrica dell'uguaglianza, possiamo anche scrivere che:

Prodotto di radicali aventi lo stesso indice

ponendo sempre attenzione alle condizioni di esistenza dei radicali.



Esempio:

Prodotto di radicali aventi lo stesso indice

 
 
 
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