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TEOREMA DI CRAMER

 

Per comprendere  

 

Il TEOREMA di CRAMER permette di risolvere un sistema di equazioni lineari supposto possibile.

Esso afferma che un sistema di equazioni lineari algebriche in n incognite, nel quale la MATRICE DEI COEFFICIENTI è NON SINGOLARE, ammette una e una sola soluzione. Il VALORE di ciascuna INCOGNITA è uguale ad una FRAZIONE che ha :

  • per DENOMINATORE il DETERMINANTE della MATRICE dei COEFFICIENTI;

  • per NUMERATORE il DETERMINANTE che si ottiene dal denominatore SOSTITUENDO AI COEFFICIENTI DELL'INCOGNITA che si vuole calcolare i CORRISPONDENTI TERMINI NOTI.

 

Possiamo scrivere il TEOREMA di CRAMER nel modo che segue:

xi = det Ai / det A

dove

A è la matrice dei coefficienti

Ai è la matrice ottenuta da A sostituendo la sua i.esima colonna con la colonna dei termini noti

xi sono le incognite con i che va da 1 ad n.

 

Torniamo al sistema di equazioni visto nella lezione precedente:

Teorema di Cramer

 

Riduciamo le due EQUAZIONI a FORMA NORMALE e mettiamo le incognite nello stesso ordine in modo da incolonnarle. Avremo:

Teorema di Cramer

 

Ora scriviamo la MATRICE DEI COEFFICIENTI:

Teorema di Cramer

 

Il determinante della matrice data è

(1 · 1) - (-1  · 2) = 1 - (-2) = 3

quindi 3 è il denominatore della nostra frazione.

 

Ora nella prima colonna della matrice dei coefficienti, cioè nella colonna dei coefficienti delle x, sostituiamo la colonna dei termini noti. Avremo:

Teorema di Cramer

Il determinante della matrice data è

(2 · 1) - (-1  · 5) = 2 -  (5) =  2 + 5 = 7

quindi 7 è il numeratore della frazione che dobbiamo scrivere per trovare la x.

 

Quindi avremo:

x = 7/3.

 

Ora nella seconda colonna della matrice dei coefficienti, cioè nella colonna dei coefficienti delle y, sostituiamo la colonna dei termini noti. Avremo:

Teorema di Cramer

Il determinante della matrice data è

(1 · 5) - (2  · 2) = 5 - 4 = 1

quindi 1 è il numeratore della frazione che dobbiamo scrivere per trovare la y.

 

Quindi avremo:

y = 1/3.

 

Le soluzioni del nostro sistema sono:

x = 7/3       y = 1/3.

 

 

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