FORMULA DI BISEZIONE DELLA COTANGENTE
Concludiamo l'argomento delle formule di bisezione parlando della FORMULA DI BISEZIONE DELLA COTANGENTE
Come sappiamo la CONTANGENTE di un angolo può essere scritta come il RAPPORTO tra 1 e la TANGENTE dell'angolo stesso. Ovvero:
Di conseguenza, la cotangente dell'angolo α/2 è uguale a:
Nelle lezioni precedenti abbiamo visto che esistono tre diverse formule di bisezione della tangente. La prima di queste è:
Se sostituiamo questa formula nella precedente, abbiamo:
Ora, scriviamo la nostra frazione come il prodotto del numeratore per l'inverso del denominatore, e abbiamo:
Quindi la PRIMA delle FORMULE DI BISEZIONE DELLA COTANGENTE è:
Chiaramente, poiché abbiamo posto la cotangente uguale al rapporto tra 1 e la tangente di α/2, affinché la frazione non perda di significato è necessario che il denominatore sia diverso da zero, cioè è necessario che:
tan α/2 ≠ 0
Questo si verifica quando α/2 è diverso da 0°, 180°, ecc.. cioè quando
α/2 ≠ kπ
da cui moltiplicando entrambi i membri per 2 avremo:
α ≠ 2kπ
con k ∈ Z
Passiamo alla seconda formula di duplicazione della cotangente: partiamo sempre dal dire che la cotangente è l'inverso della tangente. Questa volta, però, sostituiamo la SECONDA delle FORMULE DI BISEZIONE DELLA TANGENTE che sappiamo essere:
Andando a sostituire questa formula nella precedente ed eseguiamo i vari passaggi abbiamo:
Il denominatore della frazione si annulla quando il seno dell'angolo α è uguale a 0 cosa che si verifica quando l'angolo α misura 0°, 180° e così via. Quindi possiamo porre come condizone di esistenza:
α ≠ kπ
con k ∈ Z
Esaminiamo l'ultima formula di duplicazione della cotangente: partiamo sempre dal dire che la cotangente è l'inverso della tangente ed andiamo a sostituire la TERZA delle FORMULE DI BISEZIONE DELLA TANGENTE che sappiamo essere:
Facciamo, come sempre, la nostra sostituzione ed andiamo ad eseguire i vari passaggi:
Il denominatore della frazione si annulla quando
1 - cos α = 0
da cui:
- cos α = -1
cos α = 1
che si verifica quando l'angolo è pari a 0°, il che equivale a porre come condizone di esistenza:
α ≠ 2kπ
con k ∈ Z
