FORMULA PARAMETRICA DEL SENO

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

Si chiamano FORMULE PARAMETRICHE o FORMULE RAZIONALI quelle formule che permettono di esprimere il SENO e il COSENO di un angolo α in funzione della TANGENTE dell'angolo α/2.

Iniziamo col vedere la FORMULA PARAMETRICA del SENO: questa formula esprime il seno di α in funzione della tangente di α/2.


Come abbiamo visto più volte in queste lezioni il seno dell'angolo α può essere scritto come

sen α = sen 2 · α/2



La FORMULA DI DUPLICAZIONE DEL SENO ci dice che:

sen 2α = 2 sen α · cos α


Andiamo a sostituire questa formula nella precedente:

Formula parametrica del seno



Ora vogliamo trasformare il secondo membro in una frazione: per farlo, lo andiamo a dividere per 1.

Formula parametrica del seno



La PRIMA RELAZIONE FONDAMENTALE DELLA GONIOMETRIA ci dice che la SOMMA del SENO AL QUADRATO di un angolo e del COSENO AL QUADRATO dello stesso angolo è uguale a 1. Quindi

sen2 α/2 + cos2 α/2 = 1


Quindi possiamo scrivere il denominatore della nostra frazione come:

Formula parametrica del seno



A questo punto dividiamo numeratore e denominatore per cos 2 α/2.


Ovviamente, prima di eseguire la divisione dobbiamo porre come condizione che

cos2 α/2 ≠ 0

da cui ricaviamo

cos α/2 ≠ 0

e noi sappiamo che ciò accade quando l'angolo misura 90°, 270°, ecc..

In altre parole la condizione da porre è

α/2 ≠π/2 + kπ

e moltiplicando tutto per due, la nostra condizione diventa:

α ≠ π + 2kπ



Torniamo alla nostra formula che, dopo la divisione, si presenta così:

Formula parametrica del seno


Andiamo a scriverla nel modo seguente:

Formula parametrica del seno


Semplifichiamo:

Formula parametrica del seno


Ora, ricordando che:

possiamo scrivere:

Formula parametrica del seno

e modificando l'ordine diventa

Formula parametrica del seno



Ovviamente dobbiamo ricordarci di porre la condizione

α/2 ≠ π/2 + kπ

con   k ∈ Z




Spesso, per una questione di praticità, si pone:

t = tan α/2

per cui la formula diventa:

Formula parametrica del seno



 
 
 
 
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