FORMULA PARAMETRICA DEL SENO
- Prima relazione fondamentale della goniometria
- Seconda relazione fondamentale della goniometria
- Formula di duplicazione del seno
Si chiamano FORMULE PARAMETRICHE o FORMULE RAZIONALI quelle formule che permettono di esprimere il SENO e il COSENO di un angolo α in funzione della TANGENTE dell'angolo α/2.
Iniziamo col vedere la FORMULA PARAMETRICA del SENO: questa formula esprime il seno di α in funzione della tangente di α/2.
Come abbiamo visto più volte in queste lezioni il seno dell'angolo α può essere scritto come
sen α = sen 2 · α/2
La FORMULA DI DUPLICAZIONE DEL SENO ci dice che:
sen 2α = 2 sen α · cos α
Andiamo a sostituire questa formula nella precedente:
Ora vogliamo trasformare il secondo membro in una frazione: per farlo, lo andiamo a dividere per 1.
La PRIMA RELAZIONE FONDAMENTALE DELLA GONIOMETRIA ci dice che la SOMMA del SENO AL QUADRATO di un angolo e del COSENO AL QUADRATO dello stesso angolo è uguale a 1. Quindi
sen2 α/2 + cos2 α/2 = 1
Quindi possiamo scrivere il denominatore della nostra frazione come:
A questo punto dividiamo numeratore e denominatore per cos 2 α/2.
Ovviamente, prima di eseguire la divisione dobbiamo porre come condizione che
cos2 α/2 ≠ 0
da cui ricaviamo
cos α/2 ≠ 0
e noi sappiamo che ciò accade quando l'angolo misura 90°, 270°, ecc..
In altre parole la condizione da porre è
α/2 ≠π/2 + kπ
e moltiplicando tutto per due, la nostra condizione diventa:
α ≠ π + 2kπ
Torniamo alla nostra formula che, dopo la divisione, si presenta così:
Andiamo a scriverla nel modo seguente:
Semplifichiamo:
Ora, ricordando che:
- il SENO di 2 α/2 non è altro che il sen α;
- la SECONDA RELAZIONE FONDAMENTALE DELLA GONIOMETRIA ci dice che la TANGENTE non è altro che il RAPPORTO tra il SENO e il COSENO dell'angolo
possiamo scrivere:
e modificando l'ordine diventa
Ovviamente dobbiamo ricordarci di porre la condizione
α/2 ≠ π/2 + kπ
con k ∈ Z
Spesso, per una questione di praticità, si pone:
t = tan α/2
per cui la formula diventa:
