FORMULA DI BISEZIONE DELLA TANGENTE

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

Nella lezione precedente abbiamo visto che la FORMULA DI BISEZIONE della TANGENTE è:

Formula di bisezione della tangente


Abbiamo detto, però, sempre in quella lezione, che esistono altri due modi di esprimere la formula di bisezione della tangente: questi due modi, che vedremo in questa lezione, hanno il vantaggio di NON presentare il simbolo di RADICE ed il DOPPIO SEGNO.

Iniziamo col vedere la prima di queste due formule.

Dalla seconda relazione fondamentale della goniometria sappiamo che:

Formule di bisezione della tangente



Ora moltiplichiamo numeratore e denominatore per 2 cos α/2


Per poter eseguire tale operazione dobbiamo porre come condizione che:

2 cos α/2 ≠ 0

che equivale a dire:

cos α/2 ≠ 0


Noi sappiamo che il coseno di un angolo è uguale a zero quando l'angolo misura 90°, 270° e così via. Quindi possiamo dire che la condizione da noi posta equivale a scrivere:

α/2 ≠ π/2 + kπ

che, moltiplicando primo e secondo membro per 2, diventa:

α ≠ π+ 2kπ

con   k ∈ Z



Posta questa condizione torniamo alla nostra formula che, una volta eseguita la moltiplicazione, diventa:

Formule di bisezione della tangente



Ora osserviamo il numeratore e ricordiamo che la FORMULA di DUPLICAZIONE del SENO ci dice che:

sen 2 α = 2 sen α · cos α


Quindi, il nostro numeratore non è altro che il SENO dell'angolo doppio di α/2, cioè il SENO dell'angolo α. Quindi, la nostra formula diventa:

Formule di bisezione della tangente



Passiamo al denominatore. Se andate a rileggere la lezione sulla FORMULA di BISEZIONE del COSENO vedrete che, prima di giungere alla formula definitiva di bisezione del coseno, avevamo visto che

Formula di bisezione del coseno



Sostituendo questa formula al denominatore della nostra frazione, avremo:

Formule di bisezione della tangente


Semplifichiamo ed otteniamo:

Formule di bisezione della tangente


Quindi, un'altra FORMULA di BISEZIONE della TANGENTE è:

Formule di bisezione della tangente

posto

α ≠ π+ 2kπ

con   k ∈ Z



Passiamo all'altra formula.

Scriviamo sempre:

Formule di bisezione della tangente



Ora moltiplichiamo numeratore e denominatore per 2 sen α/2


Per poter eseguire tale operazione dobbiamo porre come condizione che:

2 sen α/2 ≠ 0

che equivale a dire:

sen α/2 ≠ 0


Noi sappiamo che il seno di un angolo è uguale a zero quando l'angolo misura , 180° e così via. Quindi possiamo dire che la condizione da noi posta equivale a scrivere:

α/2 ≠ kπ

che, moltiplicando primo e secondo membro per 2, diventa:

α ≠ 2kπ

con   k ∈ Z



Posta questa condizione torniamo alla nostra formula che, una volta eseguita la moltiplicazione, diventa:

Formule di bisezione della tangente



Ora osserviamo il numeratore della nostra frazione. Come abbiamo già detto prima, dalla FORMULA di BISEZIONE del SENO sappiamo che

Formula di bisezione del coseno



Sostituendo questa formula al numeratore della nostra frazione, avremo:

Formule di bisezione della tangente


Ora passiamo ad esaminare il denominatore e ricordiamo che la FORMULA di DUPLICAZIONE del SENO ci dice che:

sen 2 α = 2 sen α · cos α


Quindi, il nostro denominatore non è altro che il SENO dell'angolo doppio di α/2, cioè il SENO dell'angolo α. Quindi, la nostra formula diventa:

Formule di bisezione della tangente



Semplifichiamo ed otteniamo:

Formule di bisezione della tangente


Quindi, un'altra FORMULA di BISEZIONE della TANGENTE è:

Formule di bisezione della tangente

posto

α ≠ 2kπ

con   k ∈ Z



 
 
 
 
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