FORMULA DI TRIPLICAZIONE DELLA COTANGENTE

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

Concludiamo l'esame delle formule di triplicazione parlando della FORMULA DI TRIPLICAZIONE DELLA COTANGENTE.

Partiamo, come al solito, scrivendo:

cotg 3α = cotg (2α + α)


Ora, ricordando che la COTANGENTE di un angolo non è altro che il RAPPORTO tra il COSENO e il SENO di quell'angolo, possiamo scrivere:

Formula di triplicazione della cotangente


Chiaramente, trattandosi di una frazione affinché essa abbia significato dobbiamo porre la condizione che il suo denominatore sia diverso da zero, cioè

sen (2α + α) ≠ 0


Il seno di un angolo è uguale a zero quando l'angolo misura , 180° e così via. Quindi la condizione da porre è

α ≠ kπ

con k ∈ Z

A questo punto possiamo applicare, a numeratore, la FORMULA DI ADDIZIONE del COSENO, ovvero

cos (α + β) = cos α · cos β - sen α · sen β

e, a denominatore, la FORMULA DI ADDIZIONE del SENO, cioè:

sen (α + β) = sen α · cos β + cos α · sen β


In questo modo otteniamo:

Formula di triplicazione della cotangente



Ora andiamo a sostituire la FORMULA DI DUPLICAZIONE del SENO, ovvero

sen 2α = 2 sen α · cos α

e la FORMULA DI DUPLICAZIONE del COSENO, cioè:

cos 2α = cos2 α - sen2 α

ed otteniamo:

Formula di triplicazione della cotangente


Eseguiamo le moltiplicazioni ed abbiamo:

Formula di triplicazione della cotangente


Sommiamo i termini simili

Formula di triplicazione della cotangente


Ora dividiamo, numeratore e denominatore, per il sen3 α

Per poter eseguire la divisione senza che la frazione perda di significato occorre porre la condizione:

sen3 ≠ 0

che come abbiamo detto prima si verifica quando

α ≠ kπ

con k ∈ Z

La nostra formula diventa:

Formula di triplicazione della cotangente


Ora andiamo a semplificare:

Formula di triplicazione della cotangente


Quindi possiamo dire che la FORMULA DI TRIPLICAZIONE della TANGENTE è:

Formula di triplicazione della cotangente

Posta la condizione che

α ≠ kπ

con k ∈ Z



Per concludere diciamo che saremmo potuti arrivare alla stessa formula partendo da:

cotg (2α + α)

e usando dapprima la formula di addizione della cotangente e successivamente la formula di duplicazione della cotangente: lasciamo a voi provare questo secondo metodo di dimostrazione.

 
 
 
 
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