FORMULA DI ADDIZIONE DELLA COTANGENTE

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

Passiamo ad esaminare la FORMULA di ADDIZIONE della COTANGENTE, cioè quella formula che ci permette di trovare la COTANGENTE della SOMMA degli angoli α e β.


Iniziamo con lo scrivere:

cotg (α + β)


Dallo studio della cotangente di un angolo abbiamo appreso che essa è il rapporto tra il coseno e il seno dell'angolo stesso, ovvero:

Cotangente dell'angolo alfa


Andiamo a sostituire nella prima e scriviamo:

Formula di addizione della cotangente


Affinché la frazione abbia significato è necessario che il suo denominatore sia diverso da zero: questo significa che dobbiamo porre la condizione che

sen (α + β) ≠ 0

Dalla osservazione del grafico della funzione del seno si nota che il seno di un angolo è uguale a 0 quando l'angolo è pari a 0, a π, a , e così via. Questo significa che il seno di un angolo è uguale a zero ogni π radianti a partire da 0.

Di conseguenza, la condizione che dobbiamo porre è:

(α + β) ≠ kπ     con k ∈ Z


Tornando alla nostra formula

Formula di addizione della cotangente


possiamo notare che, a numeratore abbiamo il coseno della somma di due angoli, mentre a denominatore abbiamo il seno della somma di due angoli.

Poiché noi sappiamo che :

cos (α + β) = cos α · cos β - sen α · sen β

e che

sen (α + β) = sen α · cos β + cos α · sen β

possiamo scrivere:

Formula di addizione della cotangente



Ora dividiamo, numeratore e denominatore, per il prodotto tra sen α e sen β:

Formula di addizione della cotangente



Per poter eseguire questa divisione dobbiamo porre come condizione che

sen α · sen β ≠ 0

cosa che si verifica quando:

sen α ≠ 0

e

sen β ≠ 0

Come abbiamo detto prima, il seno di un angolo è pari a zero quando l'angolo è pari a .

Quindi, le condizioni da porre sono:

α ≠ kπ

e

β ≠ kπ

con k ∈ Z


Poste le opportune condizioni, possiamo scrivere la nostra uguaglianza nella forma seguente:

Formula di addizione della cotangente



Laddove è possibile andiamo a semplificare:

Formula di addizione della cotangente


Come abbiamo detto in precedenza, la cotangente di un angolo non è altro che il rapporto tra il coseno e il seno dell'angolo stesso. Quindi, andando a sostituire, la nostra formula diventa:

Formula di addizione della cotangente



Quindi possiamo dire che la COTANGENTE della SOMMA di due ANGOLI è uguale al RAPPORTO che vede al numeratore il PRODOTTO delle COTANGENTI dei due angoli DIMINUITO di 1 e al denominatore la SOMMA delle COTANGENTI dei due angoli. Ovvero:

Formula di addizione della cotangente

con

α + β ≠ kπ

α ≠ kπ

β ≠ kπ



Nella prossima lezione andremo a vedere la formula di sottrazione della cotangente.

 
 
 
 
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