FORMULA DI DUPLICAZIONE DEL COSENO

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

Continuaiamo il nostro esame delle FORMULE DI DUPLICAZIONE e andiamo a cercare la formula di DUPLICAZIONE DEL COSENO: in altre parole vogliamo trovare una formula che ci consenta di esprimere il coseno dell'angolo in funzione dell'angolo α.

Quindi si tratterà di trovare:

cos 2α


Così come abbiamo visto per la formula di duplicazione del seno, anche in questo caso procediamo sostituendo con α + α:

Quindi possiamo scrivere:

cos 2α = cos (α + α)


In questo modo abbiamo scritto il nostro coseno sotto forma del coseno della somma di due angoli.

La formula di addizione del coseno ci dice che:

cos (α + β) = cos α · cos β - sen α · sen β


Sostituendo questa formula nella prima, avremo:

cos (α + α) = cos α · cos α - sen α · sen α


Eseguiamo i due prodotti ed avremo:

cos (α + α) = cos2 α - sen2 α


Quindi possiamo dire che:

cos 2α = cos2 α - sen2 α



Questa formula, però, può essere scritta anche in altri modi.

La PRIMA RELAZIONE FONDAMENTALE DELLA GONIOMETRIA ci dice che:

sen2α + cos2α = 1

da cui ricaviamo che:

cos2 α = 1 - sen2 α

Andiamo a sostituire questa formula nella precedente:

cos 2α = cos2 α - sen2 α = 1 - sen2 α - sen2 α

Da cui, sommando i termini simili, otteniamo:

1 - sen2 α - sen2 α = 1 - 2 · sen2 α


Abbiamo così trovato un altro modo per esprimere la formula di duplicazione del coseno, ovvero:

cos 2α = 1 - 2 · sen2 α



Esiste, però, ancora un modo per esprime la formula di duplicazione del coseno.

Utilizziamo sempre la PRIMA RELAZIONE FONDAMENTALE DELLA GONIOMETRIA

sen2α + cos2α = 1


da cui, questa volta, ricaviamo il seno al quadrato dell'angolo α:

sen2 α = 1 - cos2 α


Andiamo a sostituire questa formula nella precedente:

cos 2α = cos2 α - sen2 α = cos2 α -1 - cos2 α


Da cui, sommando i termini simili, otteniamo:

cos2 α -1 - cos2 α = 2 · cos2 α - 1


Abbiamo così trovato un ulteriore modo per esprimere la formula di duplicazione del coseno, ovvero:

cos 2α = 2 · cos2 α - 1



Quindi, abbiamo tre formule, tra loro equivalenti, che possono applicarsi per la duplicazione del coseno. Esse sono:

cos 2α = cos2 α - sen2 α

cos 2α = 1 - 2 · sen2 α

cos 2α = 2 · cos2 α - 1

 
 
 
 
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