FORMULA DI DUPLICAZIONE DEL COSENO
- Formule goniometriche
- Formula di addizione del coseno
- Prima relazione fondamentale della goniometria
Continuaiamo il nostro esame delle FORMULE DI DUPLICAZIONE e andiamo a cercare la formula di DUPLICAZIONE DEL COSENO: in altre parole vogliamo trovare una formula che ci consenta di esprimere il coseno dell'angolo 2α in funzione dell'angolo α.
Quindi si tratterà di trovare:
cos 2α
Così come abbiamo visto per la formula di duplicazione del seno, anche in questo caso procediamo sostituendo 2α con α + α:
Quindi possiamo scrivere:
cos 2α = cos (α + α)
In questo modo abbiamo scritto il nostro coseno sotto forma del coseno della somma di due angoli.
La formula di addizione del coseno ci dice che:
cos (α + β) = cos α · cos β - sen α · sen β
Sostituendo questa formula nella prima, avremo:
cos (α + α) = cos α · cos α - sen α · sen α
Eseguiamo i due prodotti ed avremo:
cos (α + α) = cos2 α - sen2 α
Quindi possiamo dire che:
cos 2α = cos2 α - sen2 α
Questa formula, però, può essere scritta anche in altri modi.
La PRIMA RELAZIONE FONDAMENTALE DELLA GONIOMETRIA ci dice che:
sen2α + cos2α = 1
da cui ricaviamo che:
cos2 α = 1 - sen2 α
Andiamo a sostituire questa formula nella precedente:
cos 2α = cos2 α - sen2 α = 1 - sen2 α - sen2 α
Da cui, sommando i termini simili, otteniamo:
1 - sen2 α - sen2 α = 1 - 2 · sen2 α
Abbiamo così trovato un altro modo per esprimere la formula di duplicazione del coseno, ovvero:
cos 2α = 1 - 2 · sen2 α
Esiste, però, ancora un modo per esprime la formula di duplicazione del coseno.
Utilizziamo sempre la PRIMA RELAZIONE FONDAMENTALE DELLA GONIOMETRIA
sen2α + cos2α = 1
da cui, questa volta, ricaviamo il seno al quadrato dell'angolo α:
sen2 α = 1 - cos2 α
Andiamo a sostituire questa formula nella precedente:
cos 2α = cos2 α - sen2 α = cos2 α -1 - cos2 α
Da cui, sommando i termini simili, otteniamo:
cos2 α -1 - cos2 α = 2 · cos2 α - 1
Abbiamo così trovato un ulteriore modo per esprimere la formula di duplicazione del coseno, ovvero:
cos 2α = 2 · cos2 α - 1
Quindi, abbiamo tre formule, tra loro equivalenti, che possono applicarsi per la duplicazione del coseno. Esse sono:
cos 2α = cos2 α - sen2 α
cos 2α = 1 - 2 · sen2 α
cos 2α = 2 · cos2 α - 1
