FORMULA DI TRIPLICAZIONE DELLA TANGENTE

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

Continuiamo a parlare delle formule di triplicazione ed occupiamoci ora della FORMULA DI TRIPLICAZIONE DELLA TANGENTE.

Come sempre, iniziamo scrivendo:

tan 3α = tan (2α + α)


Ora ricordando che la SECONDA RELAZIONE FONDAMENTALE DELLA GONIOMETRIA ci dice che la TANGENTE di un angolo non è altro che il RAPPORTO tra il SENO e il COSENO di quell'angolo, possiamo scrivere:

Formula di triplicazione della tangente


Chiaramente, trattandosi di una frazione affinché essa abbia significato dobbiamo imporre che il suo denominatore sia diverso da zero. Quindi la condizione da porre è

cos (2α + α) ≠ 0

Il coseno di un angolo è uguale a zero quando l'angolo misura 90°, 270° e così via. Quindi la condizione da porre è

α ≠ (π/2) + kπ

con k ∈ Z


Andiamo ad applicare la FORMULA DI ADDIZIONE del SENO, ovvero:

sen (α + β) = sen α · cos β + cos α · sen β

e la FORMULA DI ADDIZIONE del COSENO, ovvero

cos (α + β) = cos α · cos β - sen α · sen β

ed otteniamo:

Formula di triplicazione della tangente


Ora andiamo a sostituire la FORMULA DI DUPLICAZIONE del SENO, ovvero

sen 2α = 2 sen α · cos α

e la FORMULA DI DUPLICAZIONE del COSENO, cioè:

cos 2α = cos2 α - sen2 α

ed otteniamo:

Formula di triplicazione della tangente


Eseguiamo le moltiplicazioni ed abbiamo:

Formula di triplicazione della tangente


Sommiamo i termini simili

Formula di triplicazione della tangente


Ora dividiamo, numeratore e denominatore, per il cos3 α

Per poter eseguire la divisione, senza che la frazione perda di significato, occorre porre la condizione:

cos3 α ≠ 0

Abbiamo già visto in precedenza che il coseno di un angolo è uguale a zero quando l'angolo misura 90°, 270° e così via. Quindi la condizione da porre è

α ≠ (π/2) + kπ

con k ∈ Z

La nostra formula diventa:

Formula di triplicazione della tangente


Ora andiamo a semplificare:

Formula di triplicazione della tangente


Quindi possiamo dire che la FORMULA DI TRIPLICAZIONE della TANGENTE è:

Formula di triplicazione della tangente

posta la condizione

α ≠ (π/2) + kπ

con k ∈ Z

Per concludere diciamo che saremmo potuti arrivare alla stessa formula partendo da:

tan (2α + α)

e usando dapprima la formula di addizione della tangente e successivamente la formula di duplicazione della tangente: lasciamo a voi provare questo secondo metodo di dimostrazione.

 
 
 
 
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