FORMULA DI ADDIZIONE DELLA TANGENTE

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

Esaminiamo, ora, la FORMULA di ADDIZIONE della TANGENTE, cioè quella formula che ci permette di trovare la TANGENTE della SOMMA degli angoli α e β.


Iniziamo con lo scrivere:

tan (α + β)


Noi sappiamo, dalla SECONDA RELAZIONE FONDAMENTALE DELLA GONIOMETRIA, che la tangente di un angolo non è altro che il rapporto tra il seno e il coseno dell'angolo stesso, ovvero:

Tangente dell'angolo alfa


Quindi, sostituendo la seconda alla prima, possiamo scrivere:

Formula di addizione della tangente


Chiaramente, affinché la frazione abbia significato è necessario che il suo denominatore sia diverso da zero. Pertanto, dobbiamo porre la condizione che

cos (α + β) ≠ 0

Se andiamo a guardare il grafico della funzione coseno vediamo che il coseno di un angolo è uguale a 0 quando l'angolo è pari a π/2 e a (3/2 π). Questo significa che il coseno di un angolo è uguale a zero ogni π radianti a partire da π/2.

Di conseguenza, la condizione che dobbiamo porre è:

α + β ≠ (π/2) + kπ     con k ∈ Z


Tornando alla nostra formula

Formula di addizione della tangente


possiamo notare che, a numeratore abbiamo il seno della somma di due angoli, mentre a denominatore abbiamo il conseno della somma di due angoli. Sapendo che:

sen (α + β) = sen α · cos β + cos α · sen β

e che

cos (α + β) = cos α · cos β - sen α · sen β

possiamo scrivere:

Formula di addizione della tangente



Ora dividiamo, numeratore e denominatore, per il prodotto tra cos α e cos β:

Formula di addizione della tangente



Per poter eseguire questa divisione dobbiamo porre come condizione che

cos α · cos β ≠ 0

cosa che si verifica quando:

cos α ≠ 0

e

cos β ≠ 0

Come abbiamo detto prima, il coseno di un angolo è pari a zero quando l'angolo è pari a (π/2) +kπ.

Quindi, le condizioni da porre sono:

α ≠ (π/2) + kπ

e

β ≠ (π/2) + kπ

con con k ∈ Z


Poste le opportune condizioni, possiamo scrivere la nostra formula nella forma seguente:

Formula di addizione della tangente



A questo punto andiamo a semplificare:

Formula di addizione della tangente


Ricordando che la tangente di un angolo è data dal rapporto tra il seno e il coseno dell'angolo stesso, la nostra formula diventa:

Formula di addizione della tangente



Quindi possiamo dire che la TANGENTE della SOMMA di due ANGOLI è uguale al RAPPORTO che vede al numeratore la SOMMA delle TANGENTI dei due angoli e al denominatore la DIFFERENZA tra 1 e il PRODOTTO delle tangenti dei due angoli. Ovvero:

Formula di addizione della tangente

con

α + β ≠ (π/2) + kπ

α ≠ (π/2) + kπ

β ≠ (π/2) + kπ

con

con k ∈ Z



Nella prossima lezione andremo a vedere la formula di sottrazione della tangente.

 
 
 
 
Il nostro sito collabora ad una ricerca condotta dall'Università dell'Aquila e dall'Università di Pavia sulla didattica della matematica. Ti saremmo grati se volessi dedicarci alcuni minuti rispondendo ad un breve questionario.

Compila il questionario


SchedeDiGeografia.net
StoriaFacile.net
EconomiAziendale.net
DirittoEconomia.net
LeMieScienze.net
MarchegianiOnLine.net