FORMULA DI TRIPLICAZIONE DEL COSENO

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

Dopo aver visto, nellalezione precedente la formula di triplicazione del seno, occupiamoci ora della FORMULA DI TRIPLICAZIONE DEL COSENO.

In maniera simile a ciò che abbiamo fatto con il seno, andiamo a scrivere:

cos 3α = cos (2α + α)


La FORMULA DI ADDIZIONE del COSENO ci dice che:

cos (α + β) = cos α · cos β - sen α · sen β


Andando a sostituire nella precedente otteniamo:

cos (2α + α) = cos 2α · cos α - sen 2α · sen α



A questo punto andiamo ad applicare la FORMULA DI DUPLICAZIONE del SENO, ovvero

sen 2α = 2 sen α · cos α

e quella di DUPLICAZIONE del COSENO, cioè:

cos 2α = cos2 α - sen2 α


Andiamo a sostituire, queste due formule, nella precedente e scriviamo:

cos (2α + α) = (cos2 α - sen2 α) · cos α - (2 sen α · cos α) · sen α



Eseguiamo i prodotti indicati:

cos (2α + α) = cos3 α - sen2 α · cos α - 2 sen 2 · cos α

Sommiamo i termini simili:

cos (2α + α) = cos3 α - 3 sen2 α · cos α



A questo punto ricordiamo che PRIMA RELAZIONE FONDAMENTALE DELLA GONIOMETRIA ci dice che

sen2 α = 1 - cos2 α


Andiamo a sostituire nella precedente ed otteniamo:

cos (2α + α) = cos3 α - 3 · (1 - cos2 α) · cos α


da cui otteniamo:

cos (2α + α) = cos3 α - 3 cos α + 3 cos3 α = 4 cos3 α - 3 cos α



Quindi possiamo dire che la FORMULA DI TRIPLICAZIONE del COSENO è:

cos 3α = 4 cos3 α - 3 cos α



 
 
 
 
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