FORMULA DI DUPLICAZIONE DELLA TANGENTE

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

Dopo aver parlato della formula di duplicazione del seno e della formula di duplicazione del coseno, in questa lezione andremo a vedere qual è la FORMULA DI DUPLICAZIONE DELLA TANGENTE: in altre parole andremo a vedere come si può esprimere la tangente dell'angolo in funzione dell'angolo α.


Quindi, cominciamo scrivendo:

tan 2α


L'angolo può essere scritto come (α + α) e di conseguenza:

tan 2α = tan (α + α)


La formula di addizione della tangente ci dice che:

Formula di addizione della tangente

Sostituendo questa formula nella prima, avremo:

Formula di duplicazione della tangente


Sommiamo i termini simili a numeratore ed eseguiamo il prodotto indicato a denominatore:

Formula di duplicazione della tangente


Quindi possiamo dire che:

Formula di duplicazione della tangente


Una volta capito qual è la formula di duplicazione della tangente, chiediamoci quali sono le condizioni di esistenza di tale formula. Trattandosi di una frazione, la prima condizione da porre è che il denominatore sia diverso da zero, affinché la frazione abbia significato. Quindi dobbiamo scrivere:

1 - tan2 α ≠ 0

Portiamo 1 a secondo membro cambiandogli il segno:

- tan2 α ≠ -1

Moltiplichiamo, primo e secondo membro, per -1

tan2 α ≠ 1

Estraiamo la radice quadrata dal primo e secondo membro:

tan α ≠ ± 1


La condizione posta ci dice, quindi, che la tangente di α deve essere diversa da -1 e da +1.

Chiediamoci quando la tangente assume tali valori.

Essendo la tangente di un angolo il rapporto tra il suo seno e il suo coseno, è abbastanza ovvio che la tangente assume valore +1 quando il seno e il coseno dell'angolo hanno lo stesso valore e questo accade quando l'angolo misura 45° (ovvero π/4). Infatti coseno e seno sono uguali ed hanno lo stesso segno. Graficamente avremo:

Tangente dell'angolo alfa

La tangente sarà di nuovo uguale ad 1 quando l'angolo misura 225° (ovvero (5/4)π): ancora una volta coseno e seno sono uguali ed hanno lo stesso segno.

Tangente dell'angolo alfa

In altre parole possiamo dire che la tangente dell'angolo α è uguale a +1 quando:

α = π/4 + kπ



La tangente assume valore -1 in corrispondenza dell'angolo pari a -45° (ovvero -π/4). In questo caso il coseno ed il seno sono uguali in valore assoluto, ma hanno segno contrario. Graficamente avremo:

Tangente dell'angolo alfa

La stessa cosa accade quando l'angolo misura -225° (ovvero (-5/4)π).

Tangente dell'angolo alfa

In altre parole possiamo dire che la tangente dell'angolo α è uguale a -1 quando:

α = -π/4 + kπ



Questo significa affermare che la tangente dell'angolo α è uguale a ±1 quando:

α = ±π/4 + kπ


Pertanto la prima condizione da porre è

α ≠ ± π/4 + kπ

con k ∈ Z

Ma non è sufficiente. Infatti, al numeratore della nostra formula troviamo

2 · tan α


Ricordiamo che la tangente non è altro che il rapporto tra il seno e il coseno dell'angolo: affinché tale frazione abbia significato è necessario che il denominatore sia diverso da zero. Quindi è necessario porre come ulteriore condizione:

cos α ≠ 0

e noi sappiamo che questo accade quando

α ≠ (π/2) + kπ

con k ∈ Z




Ricapitolando, quindi, la FORMULA DI DUPLICAZIONE DELLA TANGENTE è:

Formula di duplicazione della tangente

le cui condizioni di esistenza sono:

α ≠ ± (π/4) + kπ

α ≠ (π/2) + kπ

con k ∈ Z



Va detto che esiste anche un altro modo per dimostrare come si giunge alla formula di duplicazione della tangente e lo vedremo nella prossima lezione.

 
 
 
 
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