FORMULA DI DUPLICAZIONE DELLA TANGENTE
Dopo aver parlato della formula di duplicazione del seno e della formula di duplicazione del coseno, in questa lezione andremo a vedere qual è la FORMULA DI DUPLICAZIONE DELLA TANGENTE: in altre parole andremo a vedere come si può esprimere la tangente dell'angolo 2α in funzione dell'angolo α.
Quindi, cominciamo scrivendo:
tan 2α
L'angolo 2α può essere scritto come (α + α) e di conseguenza:
tan 2α = tan (α + α)
La formula di addizione della tangente ci dice che:
Sostituendo questa formula nella prima, avremo:
Sommiamo i termini simili a numeratore ed eseguiamo il prodotto indicato a denominatore:
Quindi possiamo dire che:
Una volta capito qual è la formula di duplicazione della tangente, chiediamoci quali sono le condizioni di esistenza di tale formula. Trattandosi di una frazione, la prima condizione da porre è che il denominatore sia diverso da zero, affinché la frazione abbia significato. Quindi dobbiamo scrivere:
1 - tan2 α ≠ 0
Portiamo 1 a secondo membro cambiandogli il segno:
- tan2 α ≠ -1
Moltiplichiamo, primo e secondo membro, per -1
tan2 α ≠ 1
Estraiamo la radice quadrata dal primo e secondo membro:
tan α ≠ ± 1
La condizione posta ci dice, quindi, che la tangente di α deve essere diversa da -1 e da +1.
Chiediamoci quando la tangente assume tali valori.
Essendo la tangente di un angolo il rapporto tra il suo seno e il suo coseno, è abbastanza ovvio che la tangente assume valore +1 quando il seno e il coseno dell'angolo hanno lo stesso valore e questo accade quando l'angolo misura 45° (ovvero π/4). Infatti coseno e seno sono uguali ed hanno lo stesso segno. Graficamente avremo:
La tangente sarà di nuovo uguale ad 1 quando l'angolo misura 225° (ovvero (5/4)π): ancora una volta coseno e seno sono uguali ed hanno lo stesso segno.
In altre parole possiamo dire che la tangente dell'angolo α è uguale a +1 quando:
α = π/4 + kπ
La tangente assume valore -1 in corrispondenza dell'angolo pari a -45° (ovvero -π/4). In questo caso il coseno ed il seno sono uguali in valore assoluto, ma hanno segno contrario. Graficamente avremo:
La stessa cosa accade quando l'angolo misura -225° (ovvero (-5/4)π).
In altre parole possiamo dire che la tangente dell'angolo α è uguale a -1 quando:
α = -π/4 + kπ
Questo significa affermare che la tangente dell'angolo α è uguale a ±1 quando:
α = ±π/4 + kπ
Pertanto la prima condizione da porre è
α ≠ ± π/4 + kπ
con k ∈ Z
Ma non è sufficiente. Infatti, al numeratore della nostra formula troviamo
2 · tan α
Ricordiamo che la tangente non è altro che il rapporto tra il seno e il coseno dell'angolo: affinché tale frazione abbia significato è necessario che il denominatore sia diverso da zero. Quindi è necessario porre come ulteriore condizione:
cos α ≠ 0
e noi sappiamo che questo accade quando
α ≠ (π/2) + kπ
con k ∈ Z
Ricapitolando, quindi, la FORMULA DI DUPLICAZIONE DELLA TANGENTE è:
le cui condizioni di esistenza sono:
α ≠ ± (π/4) + kπ
α ≠ (π/2) + kπ
con k ∈ Z
Va detto che esiste anche un altro modo per dimostrare come si giunge alla formula di duplicazione della tangente e lo vedremo nella prossima lezione.
