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RISOLUZIONE di DISEQUAZIONI ESPONENZIALI 

mediante SOSTITUZIONE

 

 



Per comprendere  

 

Proseguiamo l'argomento della risoluzione delle DISEQUAZIONI ESPONENZIALI vedendo come si risolvono le disequazioni del tipo:

a·d 2f(x) + b·d f(x) + c > 0

a·d 2f(x) + b·d f(x) + c < 0

a·d 2f(x) + b·d f(x) + c 0

a·d 2f(x) + b·d f(x) + c 0.

 

Queste disequazioni si risolvono ponendo

d f(x) = z.

 

Supponendo che la disequazione di partenza sia

a·d 2f(x) + b·d f(x) + c > 0

in seguito alla sostituzione diventa

az2  + bz + c > 0

 

che si risolve come una normale disequazione di secondo grado.

 

Una volta trovate le soluzioni esse vanno sostituite al posto di z.

 

 

Esempio 1:

22x-2 - 6 · 2x-1 + 5 > 0 .

 

Scriviamo l'esponente del primo termine sotto forma di un prodotto

 

22(x-1) - 6 · 2x-1 + 5 > 0 

 

Poniamo

2x-1 = z

e andiamo a sostituire

22(x-1) - 6 · 2x-1 + 5 > 0 

z2 - 6z + 5 > 0.

 

Risolviamo come una normale disequazione di secondo grado:

Risoluzione equazioni esponenziali

Confrontiamo il segno del coefficiente del primo termine (+) con il verso della disequazione (>): sono concordi, quindi le soluzioni che soddisfano la disequazione sono quelle esterne. Pertanto possiamo scrivere come soluzioni

z < 1

e

z > 5.

 

Ora ricordiamo che noi abbiamo inizialmente posto

2x-1 = z.

Quindi, possiamo scrivere:

2x-1 < 1

e

2x-1 > 5.

 

Iniziamo col risolvere la prima:

2x-1 < 1.

 

Si tratta di risolvere una disequazione con una potenza a primo membro e una costante a secondo membro. Usiamo i LOGARITMI e scriviamo:

log 2 2x-1 < log 2 1

 

Per il TEOREMA della POTENZA di un LOGARITMO, possiamo scrivere:

x - 1 < log 2 1

x < 1 +  log 2 1.

 

Passiamo a risolvere la seconda:

2x-1 > 5.

Procediamo allo stesso modo:

log 2 2x-1 < log 2 5

x - 1 < log 2 5

x < 1 + log 2 5.

 

Quindi le due soluzioni sono:

x < 1 +  log 2 1

e

x < 1 + log 2 5.

 

 

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