DISEQUAZIONI ESPONENZIALI CON POTENZE AVENTI LO STESSO ESPONENTE

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

Continuiamo a vedere come si risolvono le DISEQUAZIONI ESPONENZIALI prendendo in esame il caso in cui, a primo e secondo membro, compaiono due POTENZE aventi lo STESSO ESPONENTE ma BASE DIVERSA.

Queste disequazioni si possono presentare in una delle seguenti forme:

af(x) > bf(x)

af(x) < bf(x)

af(x) ≥ bf(x)

af(x) ≤bf(x).



Anche per risolvere questo tipo di disequazione dobbiamo ricordare che la FUNZIONE ESPONENZIALE:

  • è una FUNZIONE CRESCENTE quando

    a > 1.

    In questo caso al crescere dell'esponente cresce anche il valore della y;

  • è una FUNZIONE DECRESCENTE quando

    0 > a > 1.

    In questo caso al crescere dell'esponente il valore della y si riduce.


Quindi, anche nel risolvere questo tipo di disequazione esponenziale, così come abbiamo visto nella lezione precedente, dobbiamo distinguere il caso in cui la base è maggiore di , da quello in cui è compresa tra zero e 1.

Nel risolvere le equazioni esponenziali abbiamo diviso primo e secondo membro della nostra equazione per b f(x) in modo da avere:

Soluzione equazioni esponenziali

E, per le proprietà delle potenze abbiamo scritto:

Soluzione equazioni esponenziali



Quindi, abbiamo osservato che una potenza con base diversa da 1, è uguale ad 1, solamente se l'esponente è uguale a zero.

Per questa ragione l'equazione si risolve ponendo

f(x) = 0.



Passiamo ora dalla risoluzione dell'equazione esponenziale a quella della disequazione esponenziale ed andiamo ad esaminare il valore della base e l'andamento della funzione esponenziale.

Osserviamo che la base della nostra potenza è a/b. Quindi:

  • quando a > b, la BASE della potenza è maggiore di 1;
  • quando a < b, la BASE della potenza è compresa tra 0 e 1.

Di conseguenza

  • se a > b, la BASE della potenza è maggiore di 1 ed essendo la funzione crescente, si avrà che quando

    f(x) > 0

    anche

    (a/ b) f(x) > 1.

    mentre quando

    f(x) < 0

    anche

    (a/ b) f(x) < 1.

  • invece se a < b, la BASE della potenza è minore di 1, ed essendo la funzione decrescente, si avrà che

    f(x) > 0

    allora

    (a/ b) f(x) < 1

    mentre quando

    f(x) < 0

    allora

    (a/ b) f(x) > 1.


Di conseguenza, per risolvere questo tipo di disequazioni:

  • se a > b, il VERSO della disequazione resta INVARIATO

    quindi,

    per risolvere af(x) > bf(x) poniamo f(x) > 0

    e per risolvere af(x) < bf(x) poniamo f(x) < 0

  • se a < b, il VERSO della disequazione CAMBIA

    quindi,

    per risolvere af(x) > bf(x) poniamo f(x) < 0

    e per risolvere af(x) < bf(x) poniamo f(x) > 0.



Vediamo alcuni esempi.



Esempio 1:

35x-2 < 25x - 2.

La disequazione data ha, a primo e secondo membro, due potenze aventi lo stesso esponente.

Confrontiamo i valori delle due basi delle potenze e verifichiamo che

a > b

infatti

3 > 2.

Quindi, per risolvere la disequazione poniamo l'esponente minore di zero, dato che il verso della disequazione non cambia. Andiamo a risolvere:

5x - 2 < 0

5x < 2

x < 5/2.



Esempio 2:

22x+3 > 52x+3.

Anche in questo caso la disequazione presenta, a primo e secondo membro, due potenze aventi lo stesso esponente.

Confrontiamo i valori delle due basi delle potenze e notiamo che

a < b

infatti

2 > 5.

Quindi, per risolvere la disequazione poniamo l'esponente minore di zero, poiché dobbiamo cambiare il verso della disequazione. Quindi andremo a risolvere:

2x + 3 < 0

2x < -3

x < -3/2.

 
 
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