DISEQUAZIONI ESPONENZIALI CON POTENZE AVENTI BASI ED ESPONENTI DIVERSI

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Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:

• I logaritmi: definizione
• Sistemi di logaritmi
• Teoremi sui logaritmi: teorema della potenza di un logaritmo
• Funzione esponenziale
• Disequazioni esponenziali
• Disequazioni esponenziali con potenze aventi la stessa base
• Disequazioni esponenziali con potenze aventi lo stesso esponente
• Disequazioni esponenziali con una potenza ed una costante
• Risoluzione di disequazioni esponenziali mediante sostituzione
• Risoluzione di disequazioni esponenziali con metodo grafico

Continuiamo l'esame delle DISEQUAZIONI ESPONENZIALI e vediamo come si risolvono quelle nelle quali, ai due membri della disequazione, troviamo due potenze aventi BASI ed ESPONENTI DIVERSI.

Queste disequazioni si presentano in una delle forme seguenti:

a^f(x) > b^g(x)

a^f(x) < b^g(x)

a^f(x) ≥ b^g(x)

a^f(x) ≤ b^g(x).

Queste disequazioni si risolvono in modo simile alle equazioni esponenziali nelle quali le basi e gli esponenti delle potenze sono entrambi diversi: si tratterà, quindi, di usare i LOGARITMI per la soluzione della disequazione. Per cui, a seconda del tipo di disequazione da risolvere, porremo:

a^f(x) > b^g(x) -->log_c a^f(x) > log_c b^g(x)

a^f(x) < b^g(x) --> log_c a^f(x) < log_c b^g(x)

a^f(x) ≥ b^g(x)--> log_c a^f(x) ≥log_c b^g(x)

a^f(x) ≤ b^g(x) --> log_c a^f(x) ≤ log_c b.

Così come abbiamo visto parlando delle equazioni esponenziali, anche in questo caso la scelta di c è arbitraria e potrà essere

c = a

c = b

c = e.

Esempio 1:

3^5x+1 ≥2^x-3.

Ci troviamo di fronte ad una disequazione nella quale, a primo e secondo membro, abbiamo due potenze aventi sia la base che l'esponente diversi. Usiamo allora i logaritmi per risolvere, optando per i logaritmi naturali:

log 3^5x+1 ≥log 2^x-3.

Applichiamo il TEOREMA DELLE POTENZE dei logaritmi e scriviamo:

(5x+1) · log 3≥(x-3) · log 2.

Il nostro obiettivo è quello di trovare il valore della x, quindi, iniziamo con l'eseguire le moltiplicazioni indicate:

5x· log 3 + log 3≥x· log 2 -3· log 2.

Ora portiamo a primo membro tutti i termini contenenti la x e a secondo membro gli altri, cambiando di segno:

5x· log 3 - x · log 2≥ -3 · log 2 - log 3.

A primo membro mettiamo in evidenza la x:

x · (5· log 3 - log 2)≥ -3· log 2 - log 3.

Ora non ci resta che dividere entrambi i membri della disequazione per

5 · log 3 - log 2

in modo da trovare il valore della x. Ma prima di procedere dobbiamo fare un piccolo ragionamento. Come sappiamo dallo studio delle disequazioni, se noi dividiamo entrambi i membri di una disequazione per un valore negativo dobbiamo cambiarne il verso.

Di conseguenza dobbiamo chiederci se

5· log 3 - log 2

• è POSITIVO e, quindi, dividendo per esso entrambi i termini della disequazione il suo VERSO NON CAMBIA;
• oppure è NEGATIVO, con la conseguenza che dividendo per esso entrambi i termini della disequazione il suo VERSO CAMBIA.

Iniziamo il nostro ragionamento osservando che la FUNZIONE LOGARITMICA è una funzione il cui andamento dipende dal valore assunto dalla base:

• se la BASE è MAGGIORE di 1, la funzione è CRESCENTE;
• se la BASE è MINORE di 1, la funzione è DECRESCENTE.

Avendo scelto come base il numero di Nepero e, la nostra base è maggiore di 1. Quindi la nostra funzione logaritmica è crescente. Entrambi i logaritmi hanno un argomento maggiore di 1, quindi entrambi i logaritmi sono positivi. Di conseguenza

log 3 > log 2

e quindi, a maggior ragione,

5· log 3 > log 2

con la conseguenza che

5 · log 3 - log 2 > 0

Possiamo, allora, dividere entrambi i membri della disequazione senza cambiare il suo verso, e avremo:

[x (5 · log 3 - log 2)] / (5· log 3 - log 2)≥(-3 · log 2 - log 3)/ (5· log 3 - log 2)

x ≥(-3 · log 2 - log 3)/ (5 · log 3 - log 2).

Esempio 2:

5^x+3 <2^3x-1.

Anche in questo caso ci troviamo di fronte ad una disequazione nella quale, a primo e secondo membro, abbiamo due potenze aventi sia la base che l'esponente diversi. Usiamo allora i logaritmi per risolvere, e scegliamo di usare i logaritmi naturali:

log 5^x+3 <log 2^-1-3x.

Applichiamo il TEOREMA DELLE POTENZE dei logaritmi e scriviamo:

(x+3) · log 5<(-1-3x)· log 2.

Eseguiamo le moltiplicazioni:

x· log 5 + 3 ·log 5<- log 2 - 3x · log 2.

Portiamo a primo membro tutti i termini contenenti la x e a secondo membro gli altri, cambiando di segno:

x · log 5 + 3x · log 2< - log 2 - 3 · log 5.

A primo membro mettiamo in evidenza la x:

x · (log 5 + 3 log 2) <- log 2 - 3 log 5.

Ora dobbiamo dividere entrambi i membri della disequazione per

log 5 +3 · log 2

in modo da trovare il valore della x. Prima di effettuare la divisione ci chiediamo se

log 5 +3 · log 2

è un valore positivo, e quindi non occorre cambiare il verso della disequazione, o è un valore negativo, e quindi dobbiamo cambiare il verso della disequazione.

Abbiamo già detto che, avendo scelto come base del logaritmo il numero di Nepero e, la nostra base è maggiore di 1e poiché entrambi i logaritmi hanno un argomento maggiore di 1, sono entrambi positivi. La somma di due valori positivi, sarà allora, un valore anch'esso positivo. Quindi possiamo dividere entrambi i membri della disequazione senza cambiare il suo verso, e avremo:

[x (log 5 + 3 · log 2)/ (log 5 + 3 · log 2)] < (- log 2 - 3 ·log 5)/ (log 5 + 3 ·log 2)]

x <(- log 2 - 3 · log 5)/ (log 5 + 3 · log 2)].

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