DISEQUAZIONI ESPONENZIALI CON POTENZE AVENTI LA STESSA BASE

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

Iniziamo a vedere come si risolvono le DISEQUAZIONI ESPONENZIALI partendo da quelle nelle quali compaiono a primo e secondo membro due POTENZE aventi la STESSA BASE, ma DIVERSO ESPONENTE.



Queste disequazioni si possono presentare in una delle seguenti forme:

af(x) > ag(x)

af(x) < ag(x)

af(x) ≥ag(x)

af(x) ≤ ag(x).



Per risolvere questo tipo di disequazione dobbiamo ricordare che la FUNZIONE ESPONENZIALE:

  • è una FUNZIONE CRESCENTE quando

    a > 1.

    In questo caso al crescere dell'esponente cresce anche il valore della y;

  • è una FUNZIONE DECRESCENTE quando

    0 > a > 1.

    In questo caso al crescere dell'esponente il valore della y si riduce.




Proprio per quello che è l'andamento della funzione esponenziale, nel risolvere le disequazioni esponenziali, dobbiamo distinguere il caso in cui

a > 1

dal caso in cui

0 > a > 1.



Dallo studio delle equazioni esponenziali noi sappiamo che l'equazione

af(x) = ag(x)

si risolve ponendo

f(x) = g(x).



Nel momento in cui passiamo dal risolvere le equazioni, al risolvere le disequazioni, entra in gioco il valore di a e l'andamento della funzione esponenziale. Infatti:

  • se a > 1 essendo la funzione crescente, significa che, se

    af(x) > ag(x)

    anche

    f(x) > g(x).



    Vediamo un esempio direttamente sul grafico della funzione esponenziale:

    Risoluzioni di disequazioni esponenziali



    Chiaramente significa anche che, se

    af(x) < ag(x)

    anche

    f(x) < g(x)



    Vediamolo ricorrendo ad un esempio grafico:

    Risoluzioni di disequazioni esponenziali



  • invece se 0 < a < 1 essendo la funzione decrescente, avremo che, quando

    af(x) > ag(x)

    sarà

    f(x) < g(x).



    Vediamolo graficamente:

    Risoluzioni di disequazioni esponenziali



    E quando

    af(x) < ag(x)

    sarà

    f(x) > g(x).



    Vediamo anche questo caso con un grafico:

    Risoluzioni di disequazioni esponenziali


Di conseguenza, per risolvere questo tipo di disequazioni:

  • se a > 1, il VERSO della disequazione resta INVARIATO

    quindi,

    per risolvere af(x) > ag(x) pongo f(x) > g(x)

    e per risolvere af(x) < ag(x) pongo f(x) < g(x)

  • se 0 <a < 1, il VERSO della disequazione CAMBIA

    quindi,

    per risolvere af(x) > ag(x) pongo f(x) < g(x)

    e per risolvere af(x) < ag(x) pongo f(x) > g(x).




Vediamo alcuni esempi.

Esempio 1:

24x+3 > 25x - 2.

Ci troviamo di fronte ad una disequazione che ha, a primo e secondo membro, due potenze della stessa base, mentre gli esponenti sono diversi.

Per prima cosa dobbiamo verificare se la base è maggiore di uno o è compresa tra 0 e 1. Essendo la base 2 rientra nel caso in cui

a > 1

quindi dobbiamo risolvere una disequazione tra gli esponenti delle potenze lasciando invariato il verso della disequazione:

4x + 3 > 5x - 2.

Risolviamo

4x - 5x > - 2 - 3

- x > -5

x < 5.



Esempio 2:

(1/2)x+2 ≤ (1/2)2x-3.

Anche in questo caso la disequazione ha, a primo e secondo membro, due potenze della stessa base con esponenti diversi.

Notiamo che la base, pari ad 1/2, è compresa tra 0 e 1, quindi dobbiamo risolvere una disequazione tra gli esponenti delle potenze andando a cambiare il verso della disequazione:

x+2 ≥ 2x-3.

Risolviamo

x+2 ≥ 2x - 3

x - 2x ≥ -3 -2

-x ≥ -5

x ≤ 5.

 
 
Il nostro sito collabora ad una ricerca condotta dall'Università dell'Aquila e dall'Università di Pavia sulla didattica della matematica. Ti saremmo grati se volessi dedicarci alcuni minuti rispondendo ad un breve questionario.

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