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FATTORIZZAZIONE di un TRINONOMIO di SECONDO GRADO

 

Per comprendere  

 

Consideriamo un'equazione di secondo grado. Ad esempio:

-2x2 + 7x -3 = 0.

 

Applichiamo la formula risolutiva e troviamo le sue radici:

 

Fattorizzazione di un trinomio di secondo grado

 

Quindi le due radici sono +3 e +1/2.

Questo significa che, se sostituiamo i valori +3 e +1/2 alla x, la nostra equazione è uguale a zero. Infatti:

-2·(+3)2 +7·(+3) - 3 = 0 

-2·(9) +7·(+3) - 3 = 0 

-18 +21 -3 = 0

e

-2·(+1/2)2 +7·(+1/2) - 3 = 0 

-2·(+1/4) +7·(+1/2) - 3 = 0 

-1/2 +7/2 - 3 = 0 

6/2 -3 =0

3 - 3 =0.

 

Dallo studio dei polinomi sappiamo che, se esistono dei valori che sostituiti alla variabile x, ANNULLANO il polinomio, essi prendono il nome di ZERI del POLINOMIO.

Quindi, possiamo dire che +3 e +1/2 sono ZERI della nostra equazione.

 

Sappiamo che la REGOLA DEL RESTO afferma che condizione necessaria e sufficiente affinché un POLINOMIO INTERO in x, P(x) sia divisibile per il binomio (x-a) è che il POLINOMIO si ANNULLI quando ad x si SOSTITUISCE a.

Nel nostro esempio il polinomio si annulla quando ad esso sostituiamo +3 e +1/2. Quindi esso è divisibile per 

(x - 3)

e per

(x - 1/2).

Quindi il polinomio è divisibile anche per il loro prodotto, ovvero:

(x - 3) (x -1/2).

 

Ora proviamo ad eseguire questo prodotto e avremo:

(x - 3) (x -1/2) = x2 - 1/2x -3x +3/2 =

= x2 + (-1-6)/2x +3/2 =

x2 -7/2x +3/2.

 

Confrontiamo questo polinomio

P(x) = x2 -7/2x + 3/2

con quella di partenza:

P(x) = -2x2 + 7x - 3 .

 

E' evidente che dalla prima otteniamo la seconda moltiplicando per -2.

 

Poiché il primo polinomio non è altro che il seguente prodotto:

(x - 3) (x -1/2)

il secondo sarà dato dal prodotto:

-2 (x - 3) (x -1/2).

Possiamo provare ad eseguire il prodotto per rendercene conto.

 

 

Quindi possiamo scrivere:

P(x) = -2x2 + 7x -3 = -2 (x - 3) (x -1/2).

 

 

 

Abbiamo così ottenuto una scomposizione in fattori del trinomio di secondo grado. Osserviamo che il polinomio viene scritto come PRODOTTO:

  • del COEFFICIENTE del TERMINE DI SECONDO GRADO del trinomio (-2);

  • per la differenza tra la VARIABILE x e la PRIMA RADICE (x-3);

  • per la differenza tra la VARIABILE x e la SECONDA RADICE (x-1/2);

 

Prendiamo ora l'equazione generale:

ax2 +bx +c = 0

 

Ipotizziamo

Δ = b2 - 4ac > 0.

In questo caso l'equazione ha DUE RADICI DISTINTE che chiameremo x1 e x2.

Il nostro trinomio può essere scomposto, in questo caso come:

ax2 +bx +c = a (x - x1) (x - x2).

 

Esempio:

6x2 -7x - 20 = 0.

Fattorizzazione di un trinomio di secondo grado

 

Il nostro trinomio può essere scritto così:

6x2 -7x - 20 = 6 (x + 4/3) (x - 5/2).

 

 

Se, invece:

Δ = b2 - 4ac = 0.

In questo caso l'equazione ha UNA SOLA RADICE

x1 = x2.

Il nostro trinomio può essere scomposto, in questo caso come:

ax2 +bx +c = a (x - x1) (x - x1) = a (x - x1)2.

 

Esempio:

x2 +2x +1 = 0.

Fattorizzazione di un trinomio di secondo grado

 

Il nostro trinomio può essere scritto così:

x2 +2x +1 = 1 (x +1)2.

 

 

Infine, se:

Δ = b2 - 4ac < 0.

l'equazione NON ha RADICI 

In questo caso il trinomio non si può fattorizzare (si veda a tale proposito Trinomio di secondo grado con discriminante negativo).  

 

Ricapitolando:

 

Discriminante Fattorizzazione del trinomio  ax2 + bx + c = 0
Δ > 0 a (x - x1) (x - x2)
Δ = 0 a (x - x1)2
Δ < 0 Il trinomio non si può fattorizzare

 

Per vedere gli impieghi della fattorizzazione di un trinomio di secondo grado si legga Esempio di impiego della fattorizzazione di un trinomio di scondo grado.

 

 

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