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DISEQUAZIONI riconducibili ad un PRODOTTO di FATTORI di PRIMO GRADO

 

Per comprendere  

 

Immaginiamo di dover risolvere la seguente disequazione:

x2 - 5x > 0.

 

Come possiamo notare si tratta di una disequazione di secondo grado. Tuttavia, questa disequazione può essere ricondotta ad un PRODOTTO di FATTORI di PRIMO GRADO.

A primo membro mettiamo in evidenza la x e abbiamo:

x (x - 5) > 0.

In questo modo abbiamo scritto la nostra disequazione sotto forma di un prodotto i cui fattori sono:

e

x - 5

entrambi di primo grado.

Noi dobbiamo cercare i valori di x che rendono la disequazione maggiore di zero, cioè positiva.

Per la REGOLA dei SEGNI sappiamo che un PRODOTTO è POSITIVO quando:

  • ENTRAMBI I FATTORI sono POSITIVI;

  • o

  • ENTRAMBI I FATTORI sono NEGATIVI.

 

Vediamo allora quando il primo fattore x è positivo.

Si tratta di impostare la disequazione:

x > 0.

 

La rappresentiamo graficamente su una retta orientata. Per rendere più semplice il grafico omettiamo di indicare su di esso meno infinito e più infinito che sono sottointesi.

Disequazioni riconducibili a prodotto di fattori di primo grado

Ora vediamo quando il secondo fattore, ovvero x - 5, è maggiore di zero. Si tratta di impostare la disequazione:

x - 5 > 0

ovvero

x > 5.

 

Rappresentiamo anche il risultato di questa disequazione sulla nostra retta orientata e avremo:

Disequazioni riconducibili a prodotto di fattori di primo grado

Ora ricordiamo che:

  • la LINEA CONTINUA rappresenta i valori dell'incognita che rendono POSITIVA la disequazione;

  • la LINEA TRATTEGGIATA rappresenta i valori dell'incognita che rendono NEGATIVA la disequazione.

  •  

Ora studiamo il segno della nostra disequazione che non è altro che il prodotto dei due fattori:

 

Disequazioni riconducibili a prodotto di fattori di primo grado

 

Abbiamo contraddistinto le varie parti del grafico con colori diversi per rendere più chiara la spiegazione.

La parte del grafico contraddistinta dal colore giallo, rappresenta l'intervallo compreso tra +5 e più infinito. In questo intervallo entrambe le disequazioni sono positive e dunque, anche il loro PRODOTTO è POSITIVO.

La parte del grafico contraddistinta dal colore azzurro, rappresenta l'intervallo compreso tra 0 e +5. In questo intervallo una disequazione è positiva e l'altra è negativa. Quindi il PRODOTTO è NEGATIVO.

La parte del grafico contraddistinta dal colore verde, rappresenta l'intervallo compreso tra meno infinito e 0. In questo intervallo entrambe le disequazioni sono negative e dunque, il loro PRODOTTO è POSITIVO.

 

Poiché noi dobbiamo cercare i valori della x che rendono positiva la nostra disequazione possiamo dire che ciò accade quando 

x < 0

o

x > 5.

 

 

Vediamo un altro esempio:

x2 - 4 < 0.

 

Come possiamo notare si tratta di una disequazione di secondo grado. Tuttavia, questa disequazione può essere ricondotta ad un PRODOTTO di FATTORI di PRIMO GRADO.

Quello indicato a primo membro, infatti, è un prodotto notevole ed esattamente la somma di due monomi per la loro differenza. Quindi possiamo scrivere:

(x - 2) (x +2) < 0.

 

 

In questo modo abbiamo scritto la nostra disequazione sotto forma di un prodotto i cui fattori sono:

x - 2

e

x + 2

entrambi di primo grado.

 

Noi dobbiamo cercare i valori di x che fanno sì che la disequazione sia minore di zero.

 

Vediamo allora quando il primo fattore x - 2 è negativo. 

Si tratta di impostare e risolvere la disequazione:

x - 2 < 0.

Ovvero

x < +2.

 

La rappresentiamo graficamente su una retta orientata

Disequazioni riconducibili a prodotto di fattori di primo grado

Ora vediamo quando il secondo fattore, ovvero x + 2, è minore di zero. Si tratta di impostare la disequazione:

x + 2 < 0

ovvero

x < -2.

 

Rappresentiamo anche il risultato di questa disequazione sulla nostra retta orientata e avremo:

Disequazioni riconducibili a prodotto di fattori di primo grado

Ora ricordiamo che:

  • la LINEA CONTINUA rappresenta i valori dell'incognita che rendono POSITIVA la disequazione;

  • la LINEA TRATTEGGIATA rappresenta i valori dell'incognita che rendono NEGATIVA la disequazione.

Ora studiamo il segno della nostra disequazione che non è altro che il prodotto dei due fattori:

 

Disequazioni riconducibili a prodotto di fattori di primo grado

 

La parte del grafico contraddistinta dal colore giallo, rappresenta l'intervallo compreso tra +2 e più infinito. In questo intervallo entrambe le disequazioni sono positive e dunque, anche il loro PRODOTTO è POSITIVO

La parte del grafico contraddistinta dal colore azzurro, rappresenta l'intervallo compreso tra -2 e +2. In questo intervallo una disequazione è positiva e l'altra è negativa. Quindi il PRODOTTO è NEGATIVO.

La parte del grafico contraddistinta dal colore verde, rappresenta l'intervallo compreso tra meno infinito e -2. In questo intervallo entrambe le disequazioni sono positive e dunque, il loro PRODOTTO è POSITIVO.

 

Poiché noi dobbiamo cercare i valori della x che rendono negativa la nostra disequazione possiamo dire che ciò accade quando x è compreso tra -2 e +2. Ovvero:

 -2 < x < +2.

 

 

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