PRIMO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA DELLE DISEQUAZIONI
- Disuguaglianze e disequazioni
- Disequazioni equivalenti
- Principi di equivalenza delle disequazioni
- Primo principio di equivalenza delle equazioni
Nella lezione precedente abbiamo visto cosa dicono i due PRINCIPI DI EQUIVALENZA DELLE DISEQUAZIONI.
Ora ci soffermeremo ad analizzare meglio il PRIMO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA.
Il PRIMO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA afferma che AGGIUNGENDO ad entrambi i membri di una disequazione, uno STESSO NUMERO o una STESSA ESPRESSIONE CONTENENTE L'INCOGNITA, otteniamo una disequazione EQUIVALENTE a quella data.
Esempio:
supponiamo di avere la seguente disequazione
A > B.
Dove abbiamo utilizzato A
per indicare tutto ciò che è a primo membro della nostra equazione e B
per indicare tutto ciò che si trova a secondo membro.
Ora aggiungiamo, sia al primo che al secondo membro della nostra equazione, C.
C potrà essere:
- un NUMERO
- una ESPRESSIONE CONTENENTE L'INCOGNITA.
Avremo:
A + C > B + C.
La nuova disequazione che abbiamo scritto ha le STESSE SOLUZIONI della precedente.
Infatti ogni soluzione della prima disequazione
A > B
farà assumere ad A e a B lo stesso valore. Se, dunque, a questi valori uguali aggiungiamo i valori corrispondenti a C otterremo ancora dei valori uguali.
Quindi, ogni soluzione di
A > B
e anche soluzione di
A + C > B + C
e viceversa.
Vediamo un esempio:
2x > 2.
E' intuitivo comprendere che la soluzione è x > 1.
Ora aggiungiamo al primo e al secondo membro il valore -2. Avremo:
2x - 2 > 2 - 2.
Cioè:
2x - 2 > 0.
Anche qui, intuiamo facilmente che la soluzione è di nuovo x > 1. Infatti:
2 (1) - 2 > 0.
La prima conseguenza, che dunque, possiamo trarre dal PRIMO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA è che possiamo TRASPORTARE un TERMINE di una disequazione DA UN MEMBRO ALL'ALTRO CAMBIANDOGLI DI SEGNO.
Infatti, scrivere:
2x > 2
sommare ad entrambi i membri della disequazione -2
2x - 2 > 2 - 2
in modo da avere
2x - 2 > 0
equivale a portare il 2
a primo membro cambiandogli di segno.
Ovviamente noi avremmo potuto aggiungere
qualsiasi numero e qualsiasi espressione algebrica, ma abbiamo preferito
aggiungere -2 perché così
facendo il secondo membro diventa 0 e
la nostra disequazione risulta più semplice da risolvere.
Vediamo ora un altro esempio:
x + 3 < 3.
Anche in questo caso è intuitivo comprendere che la soluzione è
x < 0.
Ora aggiungiamo al primo e al secondo membro il valore -3. Avremo:
x + 3 - 3 < 3 - 3.
Cioè:
x + 0 < 0
ovvero
x < 0.
La soluzione è di nuovo x < 0.
Quindi la seconda conseguenza, che possiamo trarre dal PRIMO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA è che se uno STESSO TERMINE COMPARE in ENTRAMBI i MEMBRI della disequazione, esso PUO' ESSERE SOPPRESSO.
Infatti, scrivere:
x + 3 < 3
sommare ad entrambi i membri della disequazione -3
x + 3 - 3 < 3 - 3
in modo da avere
x < 0
equivale a sopprimere il 3 a primo e secondo membro, così:
Nella prossima lezione parleremo del secondo principio di equivalenza delle disequazioni.
Come possiamo notare il primo principio di equivalenza delle disequazioni non presenta alcuna differenza rispetto al primo principio di equivalenza delle equazioni.
