VARIAZIONI DELLA FUNZIONE TANGENTE

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

Nelle lezioni precedenti abbiamo visto cos'è la TANGENTE dell'angolo α.

In questa lezione vedremo come varia la tangente al variare dell'ampiezza dell'angolo α.


Disegniamo sulla circonferenza goniometrica un punto P e immagniamo che esso la percorra tutta partendo dal punto A in verso antiorario:

Come varia la funzione tangente


Ricordiamo che la TANGENTE di un angolo:

  • è l'ORDINATA del punto in cui la RETTA TANGENTE alla circonferenza goniometrica, nel suo punto di ascissa 1, incontra la retta OP, dove P è il punto associato all'angolo α;
  • ma è anche il RAPPORTO tra il SENO e il coseno COSENO dell'angolo stesso.


Quando il punto P si trova in A la tangente, ovvero l'ordinata del punto T, è pari a 0.

Allo stesso risultato si perviene se si considera la tangente come il rapporto tra seno e coseno dell'angolo di zero gradi, infatti il seno dell'angolo di zero gradi è pari a 0, mentre il coseno è pari a 1, di conseguenza la tangente è pari a 0/1 = 0.

Come varia la funzione tangente



Quando il punto P percorre il tratto della circonferenza goniometrica compreso nel I QUADRANTE l'ordinata del punto T sarà sempre POSITIVA.

Anche se ragioniamo in termini di rapporto tra seno e coseno otteniamo lo stesso risultato, infatti nel primo quadrante sia il seno che il coseno sono positivi e, dunque, il loro rapporto è anch'esso positivo.

Come varia la funzione tangente



Quando l'angolo α misura 90° la tangente ovviamente NON E' DEFINITA dato che la retta OP e la retta tangente alla circonferenza goniometrica nel punto A non si incontrano.

Anche se ragioniamo in termini di rapporto tra seno e coseno otteniamo lo stesso risultato, infatti quando l'angolo α misura 90°, il seno vale 1 e il coseno 0, dunque il loro rapporto è impossibile.

Come varia la funzione tangente



Quando il punto P percorre il tratto della circonferenza goniometrica compreso nel II QUADRANTE l'ordinata del punto T sarà sempre NEGATIVA.

Anche se ragioniamo in termini di rapporto tra seno e coseno otteniamo lo stesso risultato, infatti nel secondo quadrante il seno è positivo, mentro il coseno è negativo e, dunque, il loro rapporto è negativo.

Come varia la funzione tangente



Quando l'angolo α misura 180° la tangente, ovvero l'ordinata del punto T, è pari a 0.

Allo stesso risultato si perviene se si considera la tangente come il rapporto tra seno e coseno dell'angolo di 180° gradi, infatti il seno dell'angolo di 180° gradi è pari a 0, mentre il coseno è pari a -1, di conseguenza la tangente è pari a 0/-1 = 0.

Come varia la funzione tangente



Quando il punto P percorre il tratto della circonferenza goniometrica compreso nel III QUADRANTE l'ordinata del punto T sarà sempre POSITIVA.

Allo stesso modo se consideriamo il rapporto tra seno e coseno avremo un valore positivo, infatti nel terzo quadrante sia il seno che il coseno sono negativi, dunque, il loro rapporto è positivo.

Come varia la funzione tangente



Quando l'angolo α misura 270° la tangente, NON E' DEFINITA dato che la retta OP e la retta tangente alla circonferenza goniometrica nel punto A non si incontrano.

Allo stesso risultato giungiamo se consideriamo il rapporto tra seno e coseno dell'angolo di 270°: infatti, quando l'angolo α misura 270°, il seno vale -1 e il coseno 0, dunque il loro rapporto è impossibile.

Come varia la funzione tangente



Quando il punto P percorre il tratto della circonferenza goniometrica compreso nel IV QUADRANTE l'ordinata del punto T sarà sempre NEGATIVA.

Se andiamo a guardare il segno del seno e coseno vedremo che, nel IV quadrante, il seno è sempre negativo, mentre il coseno è sempre positivo, quindi il loro rapporto è negativo.

Come varia la funzione tangente



Chiaramente quando l'angolo α misura 360° avremo una situazione del tutto analoga a quella che si ha con l'angolo di .


Mentre la funzione seno e la funzione coseno sono limitate, in quanto assumono sempre valori compresi tra -1 e +1, la FUNZIONE TANGENTE NON è LIMITATA poiché può assumere qualunque valore reale.

Quindi il CODOMINIO della funzione tangente è dato dall'insieme R (che si legge "l'insieme dei numeri reali").

 
 
 
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