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METODO di RIDUZIONE

 

Per comprendere  

 

Un ulteriore metodo a nostra disposizione per risolvere un SISTEMA DI DUE EQUAZIONI LINEARI IN DUE INCOGNITE è il METODO DI RIDUZIONE detto anche METODO DI ADDIZIONE E SOTTRAZIONE

Tale metodo si basa sul PRIMO PRINCIPIO di equivalenza dei sistemi che afferma che, se in un SISTEMA di EQUAZIONI SOSTITUIAMO ad una di esse, l'equazione che si ottiene ADDIZIONANDO MEMBRO A MEMBRO TUTTE LE EQUAZIONI del SISTEMA, si ottiene un sistema equivalente a quello dato.

Vediamo come possiamo applicare praticamente questo metodo. Immaginiamo di avere il seguente sistema:

 

Risoluzione di un sistema lineare di due equazioni con due incognite con metodo di riduzione

Nel nostro esempio, il sistema è già RIDOTTO in FORMA NORMALE. Se così non fosse sarebbe necessario, per prima cosa, procedere alla riduzione in forma normale.

Ora dobbiamo trasformare le nostre due equazioni in due equazioni equivalenti aventi i coefficienti di una stessa incognita uguali.

Scegliamo una incognita, ad esempio la x. Dobbiamo trasformare le due equazioni del sistema in due equazioni equivalenti aventi entrambe lo stesso coefficiente della x (cioè 3).

Per fare questo applichiamo il SECONDO PRINCIPIO di EQUIVALENZA delle EQUAZIONI che ci dice che se MOLTIPLICHIAMO entrambi i membri di una equazione per uno STESSO NUMERO diverso da zero otteniamo una equazione EQUIVALENTE a quella data.

Ora dobbiamo trovare due numeri (uno per la prima equazione e uno per la seconda) tali che moltiplicando entrambi i membri delle due equazioni per essi, i due coefficienti della x siano uguali. Vediamo come possiamo fare.

Prendiamo il coefficiente di entrambe le x (nel nostro caso 3 e 1) e ne calcoliamo il m.c.m.. Quindi

m.c.m. (3; 1 ) = 3.

Dividiamo il m.c.m. (3) per il coefficiente della x della prima equazione (cioè per 3) e troviamo il numero per il quale dobbiamo moltiplicare entrambi i membri della prima equazione.

Poi dividiamo il m.c.m. (3) per il coefficiente della x della seconda equazione (cioè per 1) e troviamo il numero per il quale dobbiamo moltiplicare entrambi i membri della seconda equazione.

In pratica:

m.c.m. 3 : coefficiente della x nella prima equazione 3 = 1

Risoluzione di un sistema lineare di due equazioni con due incognite con metodo di riduzione

m.c.m. 3 : coefficiente della x nella seconda equazione 1 = 3

Risoluzione di un sistema lineare di due equazioni con due incognite con metodo di riduzione

 

Eseguiamo le moltiplicazioni ed otteniamo

Risoluzione di un sistema lineare di due equazioni con due incognite con metodo di riduzione

Come possiamo notare in entrambe le equazioni il coefficiente della x è 3.

A questo punto, quindi, sottraiamo membro a membro le due equazioni:

Risoluzione di un sistema lineare di due equazioni con due incognite con metodo di riduzione

Eseguendo abbiamo:

Risoluzione di un sistema lineare di due equazioni con due incognite con metodo di riduzione

Quindi sappiamo che 

y = - 6.

Ora basta sostituire la y in una delle due equazioni di partenza per sapere quanto vale la x.

Risoluzione di un sistema lineare di due equazioni con due incognite con metodo di riduzione

 

Ricapitolando, per risolvere un SISTEMA LINEARE di DUE EQUAZIONI in DUE INCOGNITE col METODO di RIDUZIONE dobbiamo:

  • TRASFORMARE ENTRAMBE le equazioni del sistema in due equazioni equivalenti in modo che una INCOGNITA ABBIA LO STESSO COEFFICIENTE;

  • SOTTRARRE MEMBRO A MEMBRO le due equazioni in modo da ottenere un'equazione di primo grado in una sola incognita e risolverla nei modi consueti;

  • SOSTITUIRE il valore trovato in una delle equazioni del sistema.

 

Vediamo un altro esempio:

Risoluzione di un sistema lineare di due equazioni con due incognite con metodo di riduzione

 

Prendiamo il coefficiente di entrambe le x (nel nostro caso 2 e -1) e ne calcoliamo il m.c.m.. Quindi

m.c.m. (2; -1 ) = 2.

m.c.m. 2 : coefficiente della x nella prima equazione 2 = 1

m.c.m. 2 : coefficiente della x nella seconda equazione -1 = -2

Risoluzione di un sistema lineare di due equazioni con due incognite con metodo di riduzione

 

Sottraiamo membro a membro le due equazioni:

Risoluzione di un sistema lineare di due equazioni con due incognite con metodo di riduzione

Quindi

y = -4/-3 = 4/3.

 

Ora basta sostituire la y in una delle due equazioni di partenza per sapere quanto vale la x.

Risoluzione di un sistema lineare di due equazioni con due incognite con metodo di riduzione

 

ATTENZIONE!!! Può accadere, quando cerchiamo di rendere uguali i coefficienti di una incognita presenti nelle due equazioni, che anziché ottenere dei valori uguali otteniamo dei valori opposti (esempio +3  e -3; +2 e -2; ecc...). In questo caso, per poter eliminare l'incognita, anziché sottrarre membro a membro le due equazioni dobbiamo sommarle membro a membro.

 

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