LezioniDiMatematica.net

 
 
 
  Torna alla Home page del sitoIscriviti alla nostra newsletter per essere informato sugli aggiornamenti del sitoContattaci       
     
   
     
     

 

CRITERIO GENERALE di DIVISIBILITA'

 

Per comprendere  

 

Parlando di multipli e divisori abbiamo visto quali sono i criteri di divisibilità per 2, 3, 4, 5, 7, ecc....

Ora vogliamo chiederci se esiste un modo per stabilire se un numero è divisibile per un altro senza eseguire la divisione.

Ebbene sì. Si tratta di utilizzare la scomposizione di un numero in fattori primi.

 

Supponiamo di voler sapere se il numero 16.632 è divisibile per 84

La prima cosa da fare è SCOMPORRE i due NUMERI in FATTORI PRIMI.

Scomposizione in fattori primi

Scomposizione in fattori primi

Quindi possiamo scrivere:

16.632 = 23 x 33 x 7 x 11

84 = 22 x 3 x 7.

Ora possiamo notare che tutti i fattori primi che figurano nel numero 84 (cioè 2, 3 e 7) sono presenti anche nel numero 16.632. Inoltre tali fattori primi hanno nel primo numero (16.632) degli esponenti maggiori o uguali rispetto a quelli che hanno nel secondo numero (84).

16.632 = 23 x 33 x 7 x 11

84 = 22 x 3 x 7.

 

Infatti il 2 è presente nel numero 16.632 con esponente 3, mentre è presente nel numero 84 con esponente 2.

Il 3 è presente nel numero 16.632 con esponente 3, mentre è presente nel numero 84 con esponente 1.

Infine il 7 è presente nel numero 16.632 con esponente 1 così come nel numero 84.

 

Quando si verifica questa situazione possiamo dire che il primo numero è divisibile per il secondo.

Ricapitolando diciamo che un numero è DIVISIBILE per un altro quando, SCOMPONENDO entrambi  in FATTORI PRIMI, il PRIMO numero CONTIENE TUTTI I FATTORI PRIMI presenti nel secondo con ESPONENTI MAGGIORI o UGUALI.

 

Cerchiamo di dimostrare quanto abbiamo detto. A tale proposito possiamo procedere in due modi diversi:

1° METODO.

16.632 = 23 x 33 x 7 x 11.

Come sappiamo dalle proprietà delle potenze il prodotto di due o più potenze aventi la stessa base è una potenza della stessa base con esponente uguale alla somma degli esponenti.

Quindi 16.632 può essere scritto anche così:

16.632 = 22 x 2 x 3 x 32 x 7 x 11.

 

La PROPRIETA' COMMUTATIVA della moltiplicazione ci dice che il PRODOTTO di due o più fattori NON CAMBIA, MUTANDO IL LORO ORDINE.

La PROPRIETA' ASSOCIATIVA della moltiplicazione, invece, ci dice che il PRODOTTO di più fattori NON CAMBIA se, a due o più di essi, si SOSTITUISCE il  LORO PRODOTTO

Quindi possiamo scrivere:

16.632 = 22 x 2 x 3 x 32 x 7 x 11 = 22 x 3 x 7 x 2 x 32 x 11 = (22 x 3 x 7) x (2 x 32 x 11).

 

Ora eseguiamo la nostra divisione. Poniamo in una parentesi quadra il prodotto che rappresenta il primo numero e in una parentesi tonda il prodotto che rappresenta il secondo numero:

16.632 : 84 = [(22 x 3 x 7) x (2 x 32 x 11)] : (22 x 3 x 7) 

 

Ora applichiamo la proprietà della divisione che dice che per DIVIDERE un PRODOTTO di più fattori per UNO DI ESSI, o per il PRODOTTO DI ALCUNI DI ESSI, si SOPPRIMONO TALI FATTORI e si fa il PRODOTTO DI QUELLI RIMASTI.

 

16.632 : 84 = [( 22 x 3 x 7) x (2 x 32 x 11)] : (22 x 3 x 7)  = 2 x 32 x 11 = 198.

Infatti, se noi dividiamo 16.632 per 84 abbiamo come risultato 198.

 

2° METODO.

16.632 : 84 = (23 x 33 x 7 x 11) : (22 x 3 x 7).

Sappiamo, dalle proprietà della divisione, che per DIVIDERE un PRODOTTO INDICATO per un NUMERO basta DIVIDERE per quel numero UNO SOLO DEI FATTORI,  che sia divisibile per quel numero, e MOLTIPLICARE poi il QUOTO OTTENUTO per GLI ALTRI FATTORI.

Quindi:

16.632 : 84 = (23 x 33 x 7 x 11) : (22 x 3 x 7) = (23 : 22) x (33 : 3) x (7 : 7) x 11.

 

Per le proprietà delle potenze sappiamo che il quoziente di due o più potenze aventi la stessa base è una potenza della stessa base con esponente uguale alla differenza degli esponenti.

Quindi:

16.632 : 84 = (23 x 33 x 7 x 11) : (22 x 3 x 7) = (23 : 22) x (33 : 3) x (7 : 7) x 11 = 21 x 32 x 1 x 11 = 2 x 9 x 1 x 11 = 198.

Chiaramente il risultato ottenuto è lo stesso di quello che abbiamo avuto col primo metodo.

 

Quindi ricapitolando  un numero è DIVISIBILE per un altro quando, SCOMPONENDO entrambi  in FATTORI PRIMI, il PRIMO numero CONTIENE TUTTI I FATTORI PRIMI presenti nel secondo con ESPONENTI MAGGIORI o UGUALI.

Quando ciò si verifica il RISULTATO DELLA DIVISIONE (cioè il quoto) del primo per il secondo si ottiene come PRODOTTO dei FATTORI PRIMI del DIVIDENDO NON COMUNI al DIVISORE presi con l'ESPONENTE CON CUI FIGURANO nel dividendo, e dei FATTORI PRIMI COMUNI al dividendo e al divisore ciascuno dei quali va preso con ESPONENTE pari alla DIFFERENZA DEGLI ESPONENTI con cui essi figurano rispettivamente nel dividendo e nel divisore.

 

Esempi:

 

DIVISIONE Fattorizzazione del dividendo Fattorizzazione del divisore DIVISIONE ESEGUIBILE
780 : 350  780 = 22 x 3 x 5 x 13 350 = 2 x 52 x 7 NO
Il 2 è contenuto nel dividendo con esponente maggiore rispetto all'esponente del divisore, ma il 5 è contenuto nel dividendo con esponente minore rispetto a quello del divisore e il 7 non è affatto presente nel dividendo.

 

 

DIVISIONE Fattorizzazione del dividendo Fattorizzazione del divisore DIVISIONE ESEGUIBILE
8.190 : 65  8.190 = 2 x 32 x 5 x 7 x 13 65 = 5 x 13 SI 
Il 5 e il 13 sono presenti sia nel dividendo che nel divisore con lo stesso esponente.
 
RISULTATO DELLA DIVISIONE
(2 x 32 x 5 x 7 x 13) : (5 x 13)  
FATTORI del DIVIDENDO NON  COMUNI al DIVISORE presi con l'esponente con cui figurano nel DIVIDENDO 2 x 32 x 7
  x
FATTORI del DIVIDENDO COMUNI al DIVISORE presi esponente uguale alla differenza degli esponenti con cui figurano nel DIVIDENDO e nel divisore 5 1-1 = 50 = 1 (qualsiasi numero elevato a zero è pari a 1)

x

13 1-1 = 130 = 1

QUOTO 2 x 32 x 7 x 1 x 1 = 126

 

 

DIVISIONE Fattorizzazione del dividendo Fattorizzazione del divisore DIVISIONE ESEGUIBILE
5.676 : 44  5.676 = 22 x 3 x 11 x 43 44 = 22 x 11 SI 
Il 2 e l'11 sono presenti sia nel dividendo che nel divisore con lo stesso esponente.
 
RISULTATO DELLA DIVISIONE
(22 x 3 x 11 x 43) : (22 x 11)  
FATTORI del DIVIDENDO NON  COMUNI al DIVISORE presi con l'esponente con cui figurano nel DIVIDENDO 3 x 43
  x
FATTORI del DIVIDENDO COMUNI al DIVISORE presi esponente uguale alla differenza degli esponenti con cui figurano nel DIVIDENDO e nel divisore 2 2-2 = 20 = 1 (qualsiasi numero elevato a zero è pari a 1)

x

11 1-1 = 110 = 1

QUOTO 3 x 43 x 1 x 1 = 129

 

 

DIVISIONE Fattorizzazione del dividendo Fattorizzazione del divisore DIVISIONE ESEGUIBILE
3.600 : 12  3.600 = 24 x 32 x 52 12 = 22 x 3 SI 
Il 2 e il 3 sono presenti sia nel dividendo che nel divisore e nel dividendo hanno un esponente maggiore rispetto all'esponente con cui compaiono nel divisore.
 
RISULTATO DELLA DIVISIONE
(24 x 32 x 52 ) : (22 x 3)  
FATTORI del DIVIDENDO NON  COMUNI al DIVISORE presi con l'esponente con cui figurano nel DIVIDENDO 52
  x
FATTORI del DIVIDENDO COMUNI al DIVISORE presi esponente uguale alla differenza degli esponenti con cui figurano nel DIVIDENDO e nel divisore 24-2 = 22

x

3 2-1 = 31 = 3

QUOTO 52 x 22 x 3 = 300

 

Il criterio generale di divisibilità è utile anche quando vogliamo cercare tutti i divisori di un certo numero.

 

Lezione precedente - Lezione successiva

Indice argomenti su numeri primi

 

Per comprendere

Tutte le altre lezioni sui multipli e i divisori

 

 

 

Lezioni, Esercitazioni e Approfondimenti di matematica e geometria

MATEMATICA:

GEOMETRIA:

GEOMETRIA ANALITICA:

 

 

 
Trova l'insegnante perfetto per le tue ripetizioni
 
www.SchedeDiGeografia.net
 
wwwStoriaFacile.net
 
www.EconomiAziendale.net
 
www.DirittoEconomia.net
 
www.LeMieScienze
 
www.MarchegianiOnLine.net
 
Il significato dei principali simboli usati in matematica e geometria

 

I nostri ebook

 

 

 

 

 

 

 

 

Ripetizioni on line di Economia Aziendale

 

Altro materiale presente presente su LezioniDiMatematica.net
Questo sito viene aggiornato senza nessuna periodicità. Non può pertanto considerarsi un prodotto editoriale ai sensi della legge n. 62 del 7.03.2001

Il materiale presente sul sito non può essere riprodotto senza esplicito consenso dell'autore

Disclaimer-Privacy

Partita IVA: 02136250681