SCOMPOSIZIONE DI UN NUMERO IN FATTORI PRIMI
- I numeri primi
- Abbreviare la scomposizione in fattori primi
- Divisori di un numero
- La divisione
- La moltiplicazione
- Elevamento a potenza
- Proprietà delle potenze
Come sappiamo un NUMERO si dice COMPOSTO quando ha qualche altro divisore oltre all'UNITA' e a SE STESSO.
Sappiamo anche che i NUMERI PARI sono senz'altro dei NUMERI COMPOSTI, mentre i numeri dispari possono essere sia composti che primi.
Scegliamo, quindi, un numero pari, ad esempio
30.
Esso è senz'altro un numero composto e ammette, come divisore, il 2.
Dividiamo allora per 2 e avremo:
30 : 2 = 15.
Di conseguenza possiamo scrivere:
15 x 2 = 30.
Anche 15 è un numero composto. Esso ha come più piccolo divisore il numero 3.
Quindi possiamo scrivere:
15 : 3 = 5.
E di conseguenza possiamo dire che:
3 x 5 = 15.
Quindi attraverso una serie di sostituzioni possiamo dire che:
30 = 2 x 15 = 2 x 3 x 5.
Ricapitolando:
30 = 2 x 3 x 5.
Come possiamo notare abbiamo scritto il numero 30 come il prodotto di più numeri e questi numeri (2, 3, 5) sono tutti NUMERI PRIMI. Questa operazione prende il nome di SCOMPOSIZIONE di un NUMERO in FATTORI PRIMI.
Quindi noi abbiamo scomposto 30 in fattori primi.
Prendiamo un altro NUMERO COMPOSTO, ad esempio
105.
Il numero 105 non è divisibile per 2, trattandosi di un numero dispari.
E' divisibile per tre dato che la somma delle sue cifre è 6, cioè un numero divisibile per 3.
Quindi possiamo scrivere:
105 : 3 = 35.
Ovvero:
105 = 3 x 35.
Il numero 35 è ancora un numero composto che, poiché termina con la cifra 5, è divisibile per 5.
Quindi:
35 : 5 = 7.
Ovvero:
35 = 5 x 7.
Quindi possiamo dire che:
105 = 3 x 5 x 7.
Possiamo allora affermare che ogni NUMERO COMPOSTO è uguale al PRODOTTO di più NUMERI PRIMI.
Vediamo come si effettua, in pratica, la SCOMPOSIZIONE di un NUMERO in FATTORI PRIMI.
Prendiamo il numero 60 e proviamo a scomporlo in fattori primi.
Per fare questo dobbiamo tracciare una LINEA VERTICALE.
A sinistra di questa linea scriviamo il numero da scomporre, nel nostro caso 60.
Ora cerchiamo il PIU' PICCOLO NUMERO PRIMO per cui esso è divisibile. Essendo il numero da scomporre 60, cioè un numero pari, esso è senz'altro divisibile per 2.
Scriviamo questo fattore primo alla destra della linea verticale. Così:
Ora dividiamo 60 per 2 e scriviamo il risultato della divisione (cioè il quoto) sotto il numero 60. Così:
Cerchiamo ora il PIU' PICCOLO NUMERO PRIMO per cui è divisibile 30: anche in questo caso ci troviamo di fronte ad un numero pari che sarà, quindi, divisibile per 2.
Scriviamo il 2 a destra del numero 30.
Ora dividiamo 30 per 2 e scriviamo il risultato della divisione sotto il numero 30. Così:
15 è un numero dispari, quindi non è certamente divisibile per 2. Esso invece è divisibile per 3, dato che la somma delle sue cifre (1+5) dà come risultato 6 che è un numero divisibile per 3.
Scriviamo il 3 a destra del numero 15.
Ora dividiamo 15 per 3 e scriviamo il risultato della divisione sotto il numero 15.
Il numero 5 è un numero primo, divisibile solo per se stesso e per l'unità. Dividiamo allora il numero 5 per se stesso.
Il risultato della divisione è 1.
La nostra scomposizione del numero 60 in fattori primi è terminata.
Il NUMERO DA SCOMPORRE (nel nostro caso 60) può essere scritto come il PRODOTTO di tutti i FATTORI PRIMI scritti a sinistra della linea verticale. Così:
60 = 2 x 2 x 3 x 5.
Ma sappiamo che
Per cui sostituendo, avremo:
60 = 22 x 3 x 5.
Più in generale possiamo dire che per SCOMPORRE un numero in FATTORI PRIMI, lo si DIVIDE per il PIU' PICCOLO NUMERO PRIMO SUO DIVISORE, poi si DIVIDE il QUOTO ottenuto per il PIU' PICCOLO NUMERO PRIMO SUO DIVISORE, e così via fino ad ottenere come quoto 1.
Il numero dato è uguale al PRODOTTO di TUTTI I NUMERI PRIMI usati come DIVISORI.
Vediamo qualche altro esempio. Scomponiamo il numero
325.
Avremo:
Quindi possiamo scrivere:
325 = 5 x 5 x 13.
Ovvero
325 = 52 x 13.
Ora scomponiamo il numero
168.
Avremo:
Quindi possiamo scrivere:
168 = 2 x 2 x 2 x 3 x 7.
Ovvero:
168 = 23 x 3 x 7.
Quando scriviamo un numero come prodotto di più numeri primi si parla di FATTORIZZAZIONE in NUMERI PRIMI.
In alcuni casi è possibile abbreviare la scomposizione in fattori primi.
