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RICERCA di TUTTI i DIVISORI di un NUMERO

 

Per comprendere  

 

Poniamoci ora il problema di come trovare tutti i divisori di un dato numero, siano essi numeri primi che numeri composti.

Ad esempio, immaginiamo di voler sapere quali sono tutti i divisori del numero 540, ricordando che non vogliamo sapere solamente per quali numeri primi esso è divisibile, ma anche per quali numeri composti.

Per poter risolvere questo problema dobbiamo attingere a quanto abbiamo appreso in merito alla SCOMPOSIZIONE di un numero in FATTORI PRIMI  e al CRITERIO GENERALE di DIVISIBILITA'.

Vediamo come procedere.

Iniziamo con lo SCOMPORRE il nostro numero in FATTORI PRIMI.

Quindi:

540 = 22 x 33 x 5. 

 

Ora formiamo una TABELLA nella quale scriviamo, sulla prima LINEA ORIZZONTALE, il numero 1.

10

 

Nelle caselle successive della prima linea scriviamo il primo fattore, il 2, dapprima con esponente 1 e poi con esponente via via maggiore, fino all'esponente con cui compare nella scomposizione. Nel nostro caso il 2 compare con esponente 2: quindi indicheremo 2 e 22.

10

20 22

 

Sulla seconda riga, scriviamo prima il numero 1 e successivamente il secondo fattore, il 3, dapprima con esponente 1 e poi con esponente via via maggiore, fino all'esponente con cui compare nella scomposizione. Nel nostro caso il 3 compare con esponente 3: quindi indicheremo 3, 32 e 33.

10

20 22
10 30 32 33

 

Sulla terza riga, scriviamo prima il numero 1 e successivamente il terzo fattore dapprima con esponente 1 e poi con esponente via via maggiore, fino all'esponente con cui compare nella scomposizione. Nel nostro caso il 5 compare con solamente con esponente 1: quindi indicheremo solo 5.

10

20 22
10 30 32 33
10 50

Si andrà avanti così fino ad esaurire tutti i fattori primi.

 

Ora scriviamo la tabella in modo da SVILUPPARE le POTENZE. Quindi la nostra tabella diventerà: 

1

2 4
1 3 9 27
1 5

 

Adesso dobbiamo moltiplicare tutti i numeri della prima riga per ogni numero della seconda riga. Quindi:

Ricerca di tutti i divisori di un numero

1, 2, 4

e ancora...

Ricerca di tutti i divisori di un numero

1, 2, 4, 3, 6, 12,

e ancora...

Ricerca di tutti i divisori di un numero

1, 2, 4, 3, 6, 12, 9, 18, 36

 

e ancora...

Ricerca di tutti i divisori di un numero

1, 2, 4, 3, 6, 12, 9, 18, 36, 27, 54, 108.

 

Ora moltiplichiamo ciascun numero trovato per la terza linea orizzontale della nostra tabella.

1

2

4

3

6

12

9

18

36

27

54

108

1

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Avremo:

1, 2, 4, 3, 6, 12, 9, 18, 36, 27, 54, 108, 5, 10, 20, 15, 30, 60, 45, 90, 180, 135, 270, 540.

 

Ora li poniamo in ordine crescente e abbiamo:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 27, 30, 36, 45, 54, 60, 90, 108, 135, 180, 270, 540.

 

Questi sono tutti i divisori del numero 540: come potete notare sono 24.

 

Quando noi stiamo cercando i divisori di un numero potremmo avere il dubbio di averne tralasciato qualcuno. Come facciamo a sapere se li abbiamo considerati tutti?

Osserviamo la scomposizione in fattori primi:

540 = 22 x 33 x 5. 

Notiamo che gli esponenti dei tre fattori primi (2, 3 e 5) sono rispettivamente 2, 3 e 1.

Ora osserviamo che, se aumentiamo ognuno di questi esponenti di 1 unità avremo 3, 4 e 2 e se moltiplichiamo tra loro i valori ottenuti, avremo:

3 x 4 x 2 = 24

che è proprio il numero dei divisori di 540.

 

Quindi, per sapere qual è il NUMERO DEI DIVISORI di un dato numero dobbiamo SCOMPORLO in FATTORI PRIMI, AUMENTARE di UNA UNITA' ognuno degli ESPONENTI di tali fattori primi e fare il PRODOTTO dei numeri ottenuti.

 

La ricerca di tutti i divisori di un numero gode di un'importante proprietà.

 

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