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RETTA TANGENTE all'IPERBOLE e passante per UN PUNTO

 



Per comprendere  

 

Nella lezione precedente abbiamo visto quali posizioni può assumere una retta rispetto ad un'iperbole. In questa lezione vedremo come si può trovare l'EQUAZIONE della RETTA TANGENTE all'IPERBOLE e condotta per un DATO PUNTO.

 

Esempio: 

scrivere l'equazione della retta tangente all'iperbole 

 

Retta tangente all'iperbole

 

e passante per il punto P(5;-3).

 

 

 

Per risolvere un problema di questo tipo iniziamo con lo scrivere il FASCIO di RETTE PROPRIO passante per il punto P:

 

y - y0 = m (x - x0).

 

 

Sostituiamo ad x0 e y0 le coordinate del punto P:

y + 3 = m (x - 5).

 

Ricaviamo il valore della y

y = m (x - 5) - 3

 

y= mx - 5m - 3.

 

 

 

Ora prendiamo l'equazione dell'iperbole 

 

Ricerca della retta tangente all'iperbole

 

 

e sostituiamo il valore della y ottenuta dal fascio di rette passante per P. Avremo:

 

 

Ricerca della retta tangente all'iperbole

 

Eseguiamo i calcoli:

 

Ricerca della retta tangente all'iperbole

 

 

Ordiniamo l'equazione rispetto alla x:

 

Ricerca della retta tangente all'iperbole

 

 

Ora poniamo la condizione 

Δ = 0.

 

Infatti, solamente quando il discriminante è uguale a zero la retta è tangente all'iperbole. Avremo:

 

b2 - 4ac = 0

 

(10m2 + 6m)2 - 4 (1-m2) (-25m2 -30m -25) = 0

 

100m4 + 36m2 + 120m3 - 4 (-25m2 -30m -25 + 25m4 + 30m3 +25m2) = 0

 

100m4 + 36m2 + 120m3 + 100m2 + 120m + 100  - 100m4 - 120m3 -100m2 = 0

 

100m4 + 36m2 + 120m3 + 100m2 + 120m + 100  - 100m4 - 120m3 - 100m2 = 0

 

+ 36m2 + 120m + 100 = 0.

 

 

Troviamo il valore di m:

 

Ricerca della retta tangente all'iperbole

 

 

Sostituiamo il valore di m, appena trovato, nel fascio di rette passante per il punto P:

y= mx - 5m - 3

 

Ricerca della retta tangente all'iperbole

 

 

 

 

 

Abbiamo così trovato l'equazione della retta passante per il punto P e tangente all'iperbole.

 

 

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