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OPERAZIONI nei NUMERI NATURALI

 

Per comprendere  

 

Le OPERAZIONI che possiamo eseguire con i NUMERI NATURALI sono:

 

ADDIZIONE.

Se sommiamo tra loro due numeri naturali otteniamo ancora un numero naturale. Per questa ragione si dice che l'ADDIZIONE è un'OPERAZIONE INTERNA in N.

 

 

MOLTIPLICAZIONE.

Se moltiplichiamo tra loro due numeri naturali otteniamo ancora un numero naturale. Per questa ragione si dice che la MOLTIPLICAZIONE è un'OPERAZIONE INTERNA in N.

 

 

SOTTRAZIONE.

Dati due numeri naturali 

a e b,

la differenza tra i due sarà un numero naturale solamente se 

a maggiore o uguale a b 

che si legge

a è maggiore o uguale a b.

 

Per questa ragione diciamo che la sottrazione tra due numeri naturali NON E' UN'OPERAZIONE INTERNA in N poiché essa non associa sempre a due naturali qualsiasi un altro numero naturale.

 

 

DIVISIONE.

Supponiamo di avere due numeri 

a e b

con 

b ≠ 0

che si legge

b diverso da zero.

 

Ora immaginiamo di voler eseguire l'operazione

a : b.

Il risultato sarà un numero naturale solamente se la divisione è una DIVISIONE PROPRIA ovvero se 

a è multiplo di b.

 

Per questa ragione diciamo che la divisione tra due numeri naturali NON E' UN'OPERAZIONE INTERNA in N* poiché essa non associa sempre a due naturali qualsiasi un altro numero naturale. Infatti se a non è multiplo di b la divisione esatta di a per b non è possibile.

 

 

POTENZA.

Supponiamo di avere un numero naturale 

a  

tale che

a ≠ 0

che si legge

a è diverso da zero.

 

Ora supponiamo di voler elevare a all'ennesima potenza. Scriveremo perciò:

an

che si legge

a elevato ad n.

 

Nel caso in cui

n = 0

avremo

a0 = 1.

In altre parole qualsiasi numero naturale, diverso da zero, elevato a zero, dà come risultato 1.

Poste queste premesse possiamo dire che 

an

con a ed n naturali

e ad eccezione del caso in cui sia a che n siano uguali a zero

dà come risultato un numero naturale.

 

Quindi, se escludiamo il caso in cui sia a che n siano uguali a zero, possiamo dire che l'elevamento a potenza è UN'OPERAZIONE INTERNA in N* .

 

 

ESTRAZIONE DI RADICE.

Supponiamo di avere due numeri naturali 

a e n,

con

n maggiore o uguale ad 1 

che si legge

n maggiore o uguale ad 1.

 

Supponiamo, inoltre che

bn = a

che si legge

b elevato ad n è uguale ad a.

 

Parlando dell'elevamento a potenza abbiamo detto che b, ad eccezione del caso in cui sia a che n siano uguali a zero, è un numero naturale.

Ora noi sappiamo anche che, se

bn = a

radice ennesima di b uguale a

che si legge

la radice ennesima di b è uguale ad a.

 

Quindi, affinché l'estrazione della radice ennesima di a sia eseguibile in N* è necessario che b sia la potenza ennesima di un numero naturale.

 

 

M.C.D. 

Il M.C.D. di due o più numeri è il MAGGIORE dei loro DIVISORI COMUNI.

Ora, dati due numeri naturali a e b, entrambi diversi da zero, affinché un terzo numero sia un divisore comune di essi dovrà essere anch'esso un numero naturale.

Quindi la ricerca del M.C.D. è UN'OPERAZIONE INTERNA in N* .

 

 

m.c.m.

Il m.c.m. di due o più numeri è il MINORE dei loro MULTIPLI COMUNI.

Ora, dai due numeri naturali a e b, entrambi diversi da zero, i loro multipli comuni saranno tutti numeri naturali.

Quindi la ricerca del m.c.m. è UN'OPERAZIONE INTERNA in N* .

 

 

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