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OPERAZIONI con l'INSIEME COMPLEMENTARE

 

Per comprendere  

 

Dopo aver definito, nella lezione precedente, il concetto di INSIEME COMPLEMENTARE, in questa lezione vedremo alcune operazioni con tali insiemi. Spiegheremo i risultati avvalendoci dei DIAGRAMMI DI VENN.

Iniziamo col dire che l'INSIEME COMPLEMENTARE di B rispetto ad A è:

 

Insieme complementare di B rispetto ad A

se B è sottoinsieme di A allora A meno B è uguale all'insieme complementare di B rispetto ad A.

 

Graficamente:

Insieme complementare di B rispetto ad A

Il COMPLEMENTARE di B rispetto ad A lo abbiamo indicato con il colore giallo.

 

  1.  

Unione di un insieme con il suo insieme complementare

B unito con il complementare di B rispetto ad A è uguale all'insieme A

Unione di un insieme con il suo insieme complementare

 

L'insieme B lo abbiamo colorato di arancio. L'insieme complementare di B rispetto ad A lo abbiamo indicato col colore giallo.

 

Ricordiamo che l'UNIONE dell'insieme B e del suo complementare rispetto ad A è l'insieme degli ELEMENTI che appartengono a B e degli ELEMENTI che appartengono al complementare di B.

Quindi la loro unione è l'insieme A.

 

Inoltre notiamo che l'unione tra B e il suo complementare è uguale all'unione tra il complementare di B e B.

B unito col complementare di B è uguale al complementare di B unito B

 

 

  1.  

Intersezione tra B e il suo complementare

B intersecato con il complementare di B rispetto ad A è uguale all'insieme vuoto

Intersezione di un insieme con il suo insieme complementare

 

L'insieme B lo abbiamo colorato di arancio. L'insieme complementare di B rispetto ad A lo abbiamo indicato col colore giallo.

 

Ricordiamo che l'INTERSEZIONE dell'insieme B e del suo complementare rispetto ad A è data dagli ELEMENTI che appartengono sia a B che al complementare di B. Ed è evidente che non esistono elementi comuni ad entrambi gli insiemi. 

Quindi la loro unione è l'insieme vuoto.

 

Inoltre notiamo che l'intersezione tra B e il suo complementare è uguale all'intersezione tra il complementare di B e B.

B intersecato col complementare di B è uguale al complementare di B intersecato B

 

Quelle che abbiamo visto prendono il nome di LEGGI DI COMPLEMENTARIETA'.

 

Inoltre possiamo dire che:

il complementare del complementare di B è uguale a B

il complementare del complementare di B è uguale a B

 

B sottoinsieme di A Complementare di B rispetto ad A Complementare del complementare di B
B sottoinsieme di A complementare di B rispetto ad A complementare del complementare di B

 

 

 

il complementare dell'insieme vuoto è l'insieme universo

il complementare dell'insieme vuoto è l'insieme universo

 

 

il complementare dell'insieme universo è l'insieme vuoto

il complementare dell'insieme universo è l'insieme vuoto.

 

 

Nelle prossime lezioni parleremo leggi di De Morgan.

 

 

 

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