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LEGGI di DE MORGAN

 

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Continuiamo a parlare dell'INSIEME COMPLEMENTARE e occupiamoci ora delle LEGGI di DE MORGAN che prendono il nome dal matematico inglese Augustus De Morgan vissuto nell'800.

Le LEGGI DI DE MORGAN sono due: iniziamo col vedere la prima.

 

La PRIMA LEGGE DI DE MORGAN afferma che il complementare dell'intersezione di due insiemi è uguale all'unione del complementare del primo insieme col complementare del secondo insieme.

In altri termini:

Prima legge di De Morgan

 

Per dimostrare la PRIMA LEGGE DI DE MORGAN utilizziamo alcuni diagrammi di Venn.

Disegniamo l'INSIEME UNIVERSO  e gli insiemi A e B.

 

Prima legge di De Morgan

 

Ora rappresentiamo l'INTERSEZIONE di A e B. L'abbiamo rappresentata col colore azzurro:

Prima legge di De Morgan

 

L'insieme COMPLEMENTARE dell'INTERSEZIONE di A e B lo indichiamo col colore giallo:

Prima legge di De Morgan

 

Ora rappresentiamo col colore verde il complementare di A:

Prima legge di De Morgan

 

e con il colore fucsia il complementare di B:

Prima legge di De Morgan

 

L'UNIONE del complementare di A col complementare di B è l'insieme degli elementi che appartengono al complementare di A e al complementare di B. Per rendere più semplice la composizione del grafico indichiamo con una V le zone di colore verde  e con una F le zone di colore fucsia. L'insieme unione che stiamo cercando è l'insieme formato sia dalle zone verdi che dalle zone fucsia. Quindi:

 

Prima legge di De Morgan

 

Coloriamo di giallo tali zone:

Prima legge di De Morgan

 

Ora confrontiamo questa immagine con quella precedente:

 

Insieme complementare di A intersecato B

Insieme unione del complementare di A con il complementare di B

Prima legge di De Morgan

Prima legge di De Morgan

 

I due INSIEMI, evidenziati con il colore giallo, sono UGUALI.

 

Nella prossima lezione vedremo la SECONDA LEGGE DI DE MORGAN.

 

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