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PROPRIETA' DELL'UNIONE

 

Per approfondire  

 

Dati due insiemi  A e B, l'insieme C, formato sia dagli ELEMENTI di A che dagli ELEMENTI di B si chiama INSIEME UNIONE, o più semplicemente UNIONE di A con B.

Vogliamo, ora, dimostrare quelle che sono le PROPRIETA' DELL'UNIONE.

Per fare ciò costruiamo una serie di tabelle nelle quali, le prime due colonne riportano le quattro diverse situazioni che si possono verificare rispetto ad un generico elemento a.

Esso può:

  1. appartenere ad entrambi gli insiemi;

  2. appartenere all'insieme A e non appartenere all'insieme B;

  3. non appartenere all'insieme A e appartenere all'insieme B;

  4. non appartenere a nessuno dei due insiemi.

 

Quindi le prime due colonne della nostra tabella si presenteranno così:

A B
appartiene appartiene
appartiene non appartiene
non appartiene appartiene
non appartiene non appartiene

 

Vediamo di quali PROPRIETA' gode l'UNIONE DI INSIEMI.

 

PROPRIETA' DELL'IDEMPOTENZA:

proprietà dell'idempotenza dell'unione

Costruiamo la nostra tabella ricordando che l'unione di due insieme è l'insieme formato sia dagli ELEMENTI del primo insieme che dagli ELEMENTI del secondo insieme, quindi il generico elemento a appartiene all'insieme unione se esso appartiene ad uno degli insiemi sui quali si sta operando.

Qui la tabella sarà diversa dato che il generico elemento a o appartiene all'insieme A o non appartiene all'insieme A. Qui

A A A unito con A
appartiene appartiene appartiene
non appartiene non appartiene non appartiene

Abbiamo dimostrato che se il generico elemento a appartiene ad A esso appartiene anche ad A unito con A, mentre se il generico elemento a non appartiene ad A esso non appartiene neppure ad A unito con A.

 

 

 

PROPRIETA' COMMUTATIVA:

proprietà commutativa dell'unione

Costruiamo la nostra tabella ricordando che l'unione di due insieme è l'insieme formato sia dagli ELEMENTI del primo insieme che dagli ELEMENTI del secondo insieme, quindi il generico elemento a appartiene all'insieme unione se esso appartiene ad uno degli insiemi sui quali si sta operando.

 

A B A unito con B B unito con A
appartiene appartiene appartiene appartiene
appartiene non appartiene appartiene appartiene
non appartiene appartiene appartiene appartiene
non appartiene non appartiene non appartiene non appartiene

Come possiamo notare le ultime due colonne  sono identiche, quindi possiamo dire che A unito con B è uguale a B unito con A.

 

 

 

PROPRIETA' ASSOCIATIVA:

proprietà associativa dell'unione

Costruiamo la nostra tabella. Qui dovremo inserire anche una colonna per indicare l'appartenenza o meno del generico elemento a all'insieme C.  Quindi si possono avere 8 diverse situazioni.

A B C A unito con B (A unito con B) unito con C B unito C A unito con (B unito C)
appartiene appartiene appartiene appartiene appartiene appartiene appartiene
appartiene appartiene non appartiene appartiene appartiene appartiene appartiene
appartiene non appartiene appartiene appartiene appartiene appartiene appartiene
appartiene non appartiene non appartiene appartiene appartiene non appartiene appartiene
non appartiene appartiene appartiene appartiene appartiene appartiene appartiene
non appartiene appartiene non appartiene appartiene appartiene appartiene appartiene
non appartiene non appartiene appartiene non appartiene appartiene appartiene appartiene
non appartiene non appartiene non appartiene non appartiene non appartiene non appartiene non appartiene

 

Come possiamo notare le colonne evidenziate col colore giallo sono identiche, quindi possiamo dire che (A unito B) unito C è uguale a A unito (B unito C).

 

 

PROPRIETA' DISTRIBUTIVA DELL'UNIONE RISPETTO ALL'INTERSEZIONE

proprietà distributiva dell'unione rispetto all'intersezione

Costruiamo la nostra tabella ricordando che:

  • l'unione è l'insieme degli ELEMENTI che appartengono al primo insieme e di quelli che appartengono al secondo insieme, quindi il generico elemento a appartiene all'insieme unione se appartiene ad uno degli insiemi sui quali si sta operando;

  • l'intersezione di due insieme è l'insieme degli ELEMENTI COMUNI ad entrambi, quindi il generico elemento a appartiene all'insieme intersezione sono se esso appartiene ad entrambi gli insiemi sui quali si sta operando.

A B C B unito con C A unito (B intersecato C) A unito B A unito C (A unito B) intersecato (A unito C)
appartiene appartiene appartiene appartiene appartiene appartiene appartiene appartiene
appartiene appartiene non appartiene appartiene appartiene appartiene appartiene appartiene
appartiene non appartiene appartiene non appartiene appartiene appartiene appartiene appartiene
appartiene non appartiene non appartiene non appartiene appartiene appartiene appartiene appartiene
non appartiene appartiene appartiene non appartiene appartiene appartiene appartiene appartiene
non appartiene appartiene non appartiene non appartiene non appartiene appartiene non appartiene non appartiene
non appartiene non appartiene appartiene non appartiene non appartiene non appartiene appartiene non appartiene
non appartiene non appartiene non appartiene non appartiene non appartiene non appartiene non appartiene non appartiene

 

Anche in questo caso le colonne evidenziate col colore giallo sono identiche, quindi possiamo dire che A unito (B intersecato C) è uguale a (A unito B) intersecato (A unito C).

 

 

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