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Come capire se una FUNZIONE è INIETTIVA?

 

 



Per comprendere  

 

In una delle  lezioni precedenti abbiamo detto che una FUNZIONE è INIETTIVA se ad ELEMENTI DIVERSI di X corrispondono ELEMENTI DIVERSI di Y e nella lezione precedente abbiamo visto come è possibile capire se una funzione è iniettiva usando il TEST DELLE RETTE ORIZZONTALI.

 

Abbiamo detto che, affinché una FUNZIONE sia INIETTIVA si deve verificare che

Funzione iniettiva

che si legge

 x con 1 e x con 2 appartenenti ad X tali che x con 1 è diverso da x con 2 implica che f con x con 1 è diverso da f con x con 2.

 

Dati due valori x1 e x2 appartenenti ad X, qualora essi siano uguali, avremo come conseguenza che anche f(x1) e f(x2) saranno uguali. Quindi possiamo scrivere che una FUNZIONE è INIETTIVA anche in quest'altro modo:

 

Funzione iniettiva

che si legge

 x con 1 e x con 2 appartenenti ad X tali che x con 1 è uguale a x con 2 implica che f con x con 1 è uguale ad f con x con 2.

 

Quindi, se si verifica questa condizione, una funzione è INIETTIVA.

Data, allora, una funzione

y = f(x)

si tratta di verificare che

f(x1) = f(x2).

 

Se l'uguaglianza è verificata significa che la funzione è iniettiva.

 

Esempio 1:

data la funzione

y = 2x + 8

verifichiamo se essa è iniettiva o no.

Sostituiamo alla funzione dapprima il valore di x1 e poi quello di x2. E verifichiamo che 

f(x1) = f(x2).

 

Ovvero

f(x1) = 2x1 + 8

f(x2) = 2x2 + 8

f(x1) = f(x2)

2x1 + 8 = 2x2 + 8.

 

Eliminiamo l'8 da entrambi i membri e avremo:

2x1 = 2x2.

Dividiamo per 2 il primo e il secondo membro e avremo:

x1 = x2.

Abbiamo dimostrato che essendo f(x1) uguale a  f(x2) anche x1 è uguale a x2. Quindi la nostra funzione è iniettiva.

 

 

Esempio 2:

data la funzione

y = |x|

verifichiamo se essa è iniettiva o no.

Sostituiamo alla funzione dapprima il valore di x1 e poi quello di x2. E verifichiamo che 

f(x1) = f(x2).

 

Ovvero

f(x1) = |x1|

f(x2) = |x1|

f(x1) = f(x2)

|x1| = |x2|

da cui si ottiene

+/- x1 = +/- x2.

 

E' evidente che l'uguaglianza 

x1 = x2

non è verificata poiché è vero che

+x1 = +x2

ma non è vero, ad esempio, che

+x1 = -x2.

Quindi la nostra funzione non è iniettiva.

 

 

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