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Posizione di una RETTA rispetto all'ELLISSE

 

 

Per comprendere  

 

Supponiamo di avere l'ELLISSE di equazione

Equazione canonica dell'ellisse 

e supponiamo di avere la RETTA di equazione.

y = mx + n.

 

Vogliamo sapere se vi sono dei PUNTI di INTERSEZIONE tra l'ellisse e la retta.

Per risolvere questo tipo di problema è sufficiente mettere a sistema l'equazione dell'ellisse con quella della retta e cercare quei punti, se ci sono, che sono comuni ad entrambi. Quindi avremo:

 

Punti di intersezione tra l'ellisse e la retta

 

Per risolvere il sistema basta sostituire l'equazione della retta in quella della ellisse. 

Quella che si ottiene è un'EQUAZIONE DI SECONDO GRADO ad un'incognita (la x) che va risolta applicando la formula

Formula risolutiva equazione di secondo grado

 

Ora si potranno verificare tre casi diversi:

 

Retta esterna all'ellisse

 

La RETTA è ESTERNA rispetto all'ELLISSE.

In altre parole la retta e l'ellisse non si incontrano in nessun punto, quindi non hanno nessun punto in comune.

Il sistema, visto sopra, non ammette soluzioni e ciò si verifica quando il DISCRIMINANTE della formula risolutiva è negativo.

Δ < 0

 

Retta tangente all'ellisse

La RETTA è TANGENTE rispetto all'ELLISSE.

In altre parole la retta e l'ellisse hanno un solo punto in comune.

Il sistema, visto sopra, ammette una sola soluzione e ciò si verifica quando il DISCRIMINANTE della formula risolutiva è uguale a zero.

Δ = 0

 

In questo caso, una volta trovato il valore della x con la formula risolutiva, basta sostituirlo nell'equazione della retta per avere anche il valore della y.

I valori della x e della y trovati sono le coordinate del punto di intersezione P.

 

Retta tangente all'ellisse

La RETTA è SECANTE rispetto all'ELLISSE.

In altre parole la retta e l'ellisse hanno due punti in comune.

Il sistema, visto sopra, ammette due soluzioni e ciò si verifica quando il DISCRIMINANTE della formula risolutiva è maggiore di zero.

Δ > 0

 

In questo caso, una volta trovati i valori x1 e x2 con la formula risolutiva, basta sostituirli  nell'equazione della retta per avere anche il valore di y1 e di y2.

Le coordinate dei due punti di intersezione saranno 

P1(x1 ; y2

P2(x2 ; y2).

 

 

Esempio: 

determinare i punti di intersezione, se esistono, tra la retta di equazione 

 

Equazione della retta

e l'ellisse di equazione  

 

Equazione dell'ellisse

 

 

Mettiamo a sistema l'equazione dell'ellisse e quella della retta:

 

 

Ricerca dei punti di intersezioni tra retta ed ellisse

 

 

 

 

Sostituiamo la seconda equazione nella prima e risolviamo:

 

Ricerca dei punti di intersezioni tra retta ed ellisse

 

 

Andiamo a vedere il valore assunto dal discriminante della prima equazione:

 

Δ = b2- 4ac

 

Δ = (-22)- 4 · 1 · 1 = 4 - 4 = 0.

 

 

 

Poiché 

 

Δ = 0 

 

il sistema ammette una sola soluzione, il che significa che la retta è tangente all'ellisse.

 

Ora cerchiamo la soluzione che sarà:

 

 

Formula risolutiva equazione di secondo grado

 

Ricerca dei punti di intersezioni tra retta ed ellisse

 

 

 

 

Sostituiamo all'equazione della retta il valore di x appena trovato in modo da determinare il valore dell'ordinata:

 

 

y = 3x - 6

 

y =3 (1) - 6 = 3 - 6 = -3.

 

 

Questo significa che il punto di tangenza tra la retta e l'ellisse è

 

P (1; -3).  

 

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