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DISEQUAZIONI FRATTE con un VALORE ASSOLUTO

 

 



Per comprendere  

 

In questa lezione ci occuperemo delle DISEQUAZIONI FRATTE con VALORE ASSOLUTO, cioè di quelle disequazioni nelle quali l'incognita è presente al denominatore (solamente al denominatore oppure anche al denominatore) e nelle quali compare anche un valore assoluto.

Queste disequazioni si possono presentare in tante forme diverse. Alcune delle più frequenti sono:

  1. tutta la FRAZIONE si trova dentro il MODULO

Risoluzione di disequazioni fratte con valore assoluto

 

  1. solo il NUMERATORE si trova dentro il MODULO

Risoluzione di disequazioni fratte con valore assoluto

 

  1. solo il DENOMINATORE si trova dentro il MODULO

Risoluzione di disequazioni fratte con valore assoluto

 

Gli esempi che abbiamo riportato sono tutti con segno maggiore o uguale, ovviamente quello che diremo può essere esteso, con le dovute differenze, ai casi di segno solo maggiore oppure solo minore o ancora minore o uguale.

 

Prima di spiegare nel dettaglio come va risolto questo tipo di disequazioni, ricordiamo due cose sulle FRAZIONI:

  1. una frazione che ha al NUMERATORE lo ZERO è uguale a ZERO;

  1. una frazione che ha al DENOMINATORE lo ZERO è PRIVA DI SIGNIFICATO o si dice anche che è IMPOSSIBILE.

 

Iniziamo a vedere come si risolvono le disequazioni del tipo:

Risoluzione di disequazioni fratte con valore assoluto

La frazione è tutta posta dentro il modulo quindi, a primo membro, avremo senz'altro un valore positivo, e dunque maggiore di zero, a meno che:

  • A(x) è uguale a zero. In questo caso la frazione è uguale a zero e la disequazione non ammette soluzioni (dato che zero non è maggiore di zero);

  • B(x) è uguale a zero. In questo caso la frazione è priva di significato.

Quindi la soluzione della disequazione è:

Risoluzione di disequazioni fratte con valore assoluto

che si legge

qualunque x appartenente ai reali

tale che A con x è diverso da zero 

B con x è diverso da zero.

 

Invece, se la disequazione da risolvere è del tipo:

Risoluzione di disequazioni fratte con valore assoluto

bisognerà includere tra i risultati i valori delle x tali che A(x) è uguale a zero. In questo caso, infatti, la frazione è uguale a zero e la disequazione è verificata. Quindi, in questo caso, la soluzione è 

Risoluzione di disequazioni fratte con valore assoluto

che si legge

qualunque x appartenente ai reali

tale che 

B con x è diverso da zero.

 

 

Se, invece, la disequazione da risolvere è

Risoluzione di disequazioni fratte con valore assoluto

la disequazione non ammette nessuna soluzione dato che a primo membro abbiamo sempre un valore positivo o tutt'al più lo zero. 

Quindi possiamo scrivere

Non esistono soluzioni

che si legge

non esiste soluzione

 

oppure 

S = Ø

che si legge

la soluzione è l'insieme vuoto.

 

 

Se, invece, la disequazione da risolvere è

Risoluzione di disequazioni fratte con valore assoluto

essa è verificata solo quando A(x) è uguale a zero. In questo caso la frazione è uguale a zero e la disequazione è vera dato che cerchiamo i valori di x che rendono il primo membro UGUALE o minore del secondo.

Quindi la disequazione si risolve ponendo

A(x) = 0.

 

 

Passiamo al secondo caso: quello nel quale a primo membro abbiamo un valore assoluto, all'interno del quale c'è la frazione, e a secondo membro c'è una costante.

Una frazione del tipo:

Risoluzione di disequazioni fratte con valore assoluto

si risolve in maniera analoga ad una disequazione del tipo:

|D(x)| > k.

Ricordandosi sempre che quando il numeratore è nullo la frazione è uguale a zero e quando il denominatore è nullo la frazione perde di significato.

Di conseguenza avremo:

Risoluzione di disequazioni fratte con valore assoluto

Risoluzione di disequazioni fratte con valore assoluto

Riconducibile alle disequazioni trattate nella lezione 3

con k < 0

Vera per qualunque x appartenente ai reali 

 

ponendo come condizione

 

B(x)  ≠ 0

Nota: A(x) può essere uguale a zero dato che la frazione diverrebbe pari a zero che è maggiore di un numero negativo

 

Risoluzione di disequazioni fratte con valore assoluto

 

 

 

Riconducibile alle disequazioni trattate nella lezione 3

con k > 0

Risoluzione di disequazioni fratte con valore assoluto

ponendo come condizione

 

A(x)  ≠ 0

e

B(x)  ≠ 0

Nota: A(x) non può essere uguale a zero dato che la frazione diverrebbe pari a zero che non è maggiore di un numero positivo

Risoluzione di disequazioni fratte con valore assoluto

 

 

 

 

Riconducibile alle disequazioni trattate nella lezione 3

con k > 0

Risoluzione di disequazioni fratte con valore assoluto

ponendo come condizione

 

A(x)  ≠ 0

e

B(x)  ≠ 0

 

Nota: A(x) non può essere uguale a zero dato che la frazione diverrebbe pari a zero che non è maggiore o uguale ad un numero positivo

 

Risoluzione di disequazioni fratte con valore assoluto

Risoluzione di disequazioni fratte con valore assoluto

 

 

Riconducibile alle disequazioni trattate nella lezione 4

con k < 0

Mai verificata

 

Risoluzione di disequazioni fratte con valore assoluto

 

 

 

Riconducibile alle disequazioni trattate nella lezione 4

con k > 0

Risoluzione di disequazioni fratte con valore assoluto

ponendo come condizione

 

 

B(x)  ≠ 0

Nota: A(x) può essere uguale a zero dato che la frazione diverrebbe pari a zero che è minore di un numero positivo

Risoluzione di disequazioni fratte con valore assoluto

 

 

 

Riconducibile alle disequazioni trattate nella lezione 4

con k > 0

Risoluzione di disequazioni fratte con valore assoluto

ponendo come condizione

 

 

B(x)  ≠ 0

Nota: A(x) può essere uguale a zero dato che la frazione diverrebbe pari a zero che è minore di un numero positivo

 

Continueremo, nella prossima lezione e in quelle successive, l'esame delle disequazioni fratte con valore assoluto.

 

 

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Indice argomenti sulle disequazioni con valore assoluto

 

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