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DISEQUAZIONI con un VALORE ASSOLUTO DENTRO L'ALTRO

 

 



Per comprendere  

 

Continuiamo a vedere come si risolvono le disequazioni con valore assoluto parlando del caso in cui nella disequazione sono presenti un VALORE ASSOLUTO DENTRO L'ALTRO. Ad esempio:

 

| A(x) + |B(x)| | > k

oppure

| A(x) + |B(x)| | < k

 

o anche

 

| A(x) + |B(x)| | > C(x).

oppure

| A(x) + |B(x)| | < C(x).

 

dove k può assumere valore zero o essere una qualsiasi altra costante, mentre A(x), B(x) e C(x) sono delle espressioni contenenti l'incognita x.

Ovviamente, anziché il l simbolo di maggiore o di minore, potremmo avere il simbolo di maggiore o uguale oppure minore o uguale.

 

Per risolvere queste disequazioni richiamiamo alla mente quanto abbiamo già detto parlando delle equazioni con valore assoluto.

In pratica dobbiamo immaginare, quello che è scritto nel MODULO ESTERNO, come se fosse una sola espressione. Prendiamo il primo caso (ovviamente, quello che diremo vale anche per gli altri casi con i dovuti adattamenti)

| A(x) + |B(x)| | > k.

 

Si tratta di immaginare la disequazione scritta nella forma:

Disequazioni con un valore assoluto dentro un altro

 

Per cui la nostra disequazione diventa

| D(x) | > k.

 

A questo punto, si risolve secondo le regole apprese nelle lezioni precedenti.

 

Esempio:

| 3x + |6x - 2 | | > 14.

Poniamo

D(x) = 3x + | 6x - 2 |.

La nostra disequazione diventa:

| D(x) | > 14.

 

Questa disequazione rientra nel caso esaminato nella lezione 3. Poiché

k = 14

cioè un NUMERO POSITIVO, le soluzioni della disequazione sono

D(x)  > 14   ˅  D(x)  < - 14.

 

Ora, ricordando che 

D(x) = 3x + | 6x - 2 |

 

possiamo scrivere le soluzioni della nostra disequazione, ovvero

3x + | 6x - 2 |  > 14   ˅  3x + | 6x - 2 |  < - 14

 

Da qui ricaviamo

| 6x - 2 | > - 3x + 14   ˅   |6x -2 | < -3x - 14.

 

Le disequazioni appena scritte sono del tipo:

| A(x)| > B(x)   e    | A(x)| < B(x).

 

Questo tipo di disequazioni, come abbiamo appreso nella lezione 6 si risolvono con lo studio dei segni. Andiamo a risolvere, quindi, nel modo in cui abbiamo già appreso.

Partiamo dalla prima disequazione

| 6x - 2 | > - 3x + 14

 

Andiamo a studiare il segno dell'espressione presente nel modulo:

 6x - 2 ≥ 0

da cui otteniamo

 6x ≥ 2

x ≥ 2/6

x ≥ 1/3.

 

Disegniamo il solito grafico:

Risolvere disequazioni con valore assoluto

 

e andiamo a scrivere i due sistemi:

Risolvere disequazioni con valore assoluto   

 

Andiamo a risolvere il primo sistema:

Risolvere disequazioni con valore assoluto

 

Riportiamo le soluzioni delle due disequazioni su un grafico:

Risolvere disequazioni con valore assoluto

 

La soluzione del sistema è dato dalle 

x < - 4.

 

Passiamo al secondo sistema

Risolvere disequazioni con valore assoluto

Riportiamo i risultati delle due disequazioni su un grafico:

Risolvere disequazioni con valore assoluto

La soluzione del sistema è

x > 16/9.

 

Quindi, la nostra disequazione, ha come soluzioni

 x < - 4  ˅   x > 16/9.

 

E se avessimo dovuto risolvere una disequazione del tipo

| A(x) + |B(x)| | > C(x).

 

Il punto di partenza è sempre lo stesso, cioè porre

D(x) = A(x) + |B(x)|.

 

A questo punto si risolve secondo le regole proprie del tipo di disequazione che abbiamo di fronte.

 

 

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