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DISEQUAZIONI con VALORE ASSOLUTO e una COSTANTE

 

 



Per comprendere  

 

Nella lezione precedente abbiamo visto come si risolvono le disequazioni del tipo:

|A(x)| > k

oppure 

|A(x)| k

dove k è una costante.

 

In questa lezione, invece, andremo a vedere come si risolvono disequazioni del tipo

|A(x)| < k

oppure 

|A(x)| k

sempre con k costante.

 

Anche in questo caso, così come abbiamo visto nella lezione precedente, bisogna procedere in modo diverso a seconda che k sia un numero  negativo oppure un numero positivo.

Partiamo dal caso in cui 

k < 0.

A primo membro abbiamo un valore assoluto: esso è sempre positivo, quindi non sarà mai minore o uguale ad un numero negativo. Anche nel caso in cui la x dovesse assumere dei valori tali che A(x) è uguale a zero, la disequazione non è vera dato che lo zero è maggiore di un numero negativo.

In altre parole una disequazione simile non è MAI VERIFICATA. Possiamo anche scrivere:

Disequazioni con valore assoluto

che si legge

non esiste soluzione

 

oppure 

S = Ø

che si legge

la soluzione è l'insieme vuoto.

 

 

Esempio:

|6x + 8| < -3.

Nel nostro esempio

k = -3

quindi un valore negativo. Il primo membro è sempre positivo e, quindi, sempre maggiore del secondo. La disequazione non è mai verificata.

 

Vediamo un altro esempio:

|4x| ≤ -2.

Il primo membro è sempre positivo e non potrà mai essere minore del secondo membro che è negativo. Se il primo membro si annullasse (cosa che accade quando x = 0) avremmo 

0 ≤ - 2

che non è mai vera. Quindi la nostra disequazione non ammette soluzioni.

 

Passiamo ad esaminare il caso in cui

|A(x)| k

con 

k > 0.

 

Così come abbiamo fatto nella lezione precedente, anche in questo caso andiamo a considerare il VALORE ASSOLUTO di un numero o di una espressione come  la sua DISTANZA DALL'ORIGINE di una linea dei numeri.

Come abbiamo già detto, dato il numero reale k, la sua distanza dall'origine è k. Ma anche il numero -k ha come distanza dall'origine k. Ovvero:

Disequazioni con valore assoluto

 

Ora, affinché un'espressione sia minore di k la sua distanza dall'origine deve essere minore rispetto alla distanza 0k oppure la sua distanza dall'origine deve essere minore rispetto alla distanza -k0

 

Ad esempio questo si verifica quando:

Disequazioni con valore assoluto

 

In altre parole, questo si verifica ogni volta che la nostra espressione si colloca nell'area tratteggiata del grafico:

 

Disequazioni con valore assoluto

 

cioè ogni volta in cui A(x) è compreso tra k e - k.

 

In altre parole le soluzioni della disequazione sono

- k A(x) ≤ k.

 

Chiaramente, se la disequazione è del tipo

|A(x)| ≤ k

la soluzione sarà

- k A(x) ≤ k

mentre, se la disequazione è del tipo

|A(x)| < k

a soluzione sarà

- k < A(x) < k.

 

 

Esempio:

|2x - 3 | < 1.

Il verso della disequazione è minore e k è un numero positivo, 1 quindi si tratta di risolvere

-1 < 2x - 3 < 1.

 

Risolviamo separatamente le due disequazioni e alla fine andiamo a prendere i valore interni all'intervallo trovato:

2x - 3 > -1

2x - 3 < 1.

 

Risolviamo la prima

2x - 3 > -1

2x > -1 + 3

2x > 2

x > 1.

 

Passiamo alla seconda

2x - 3 < 1

2x < 1 + 3

2x < 4

x < 2.

 

La soluzione cercata è:

1 < x < 2.

 

Questa disequazione, può essere risolta anche con altri procedimenti: se volte sapere come, vi rimandiamo all'approfondimento Risoluzione di disequazioni con valore assoluto e costante.

 

   Lezione precedente - Lezione successiva

Indice argomenti sulle disequazioni con valore assoluto

 

Per comprendere

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