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DISEQUAZIONI FRATTE

 

Per comprendere  

 

Nelle lezioni precedenti abbiamo visto come si risolvono le DISEQUAZIONI INTERE, cioè quelle disequazioni che NON CONTENGONO l'INCOGNITA a DENOMINATORE della FRAZIONE.

 

In questa lezione, invece, ci occuperemo della soluzione delle DISEQUAZIONI FRATTEo frazionarie, cioè di quelle disequazioni che contengono l'INCOGNITA a DENOMINATORE della frazione.

 

Qualunque sia il tipo di disequazione frazionaria essa è sempre riconducibile al RAPPORTO tra DUE POLINOMI del tipo:

Disequazioni frazionarie

 

Ovviamente, al posto del simbolo minore e maggiore, ci potranno essere i simboli minore uguale e maggiore uguale.

Per risolvere questo tipo di disequazione è sufficiente STUDIARE il SEGNO DEL NUMERATORE e il SEGNO DEL DENOMINATORE e il SEGNO DELLA FRAZIONE.

 

Vediamo come fare con un esempio concreto.

Supponiamo di dover risolvere la seguente disequazione:

 

Disequazioni fratte

Risolviamo separatamente il numeratore e il denominatore.

NUMERATORE: 

x + 1 < 0

x < -1

 

DENOMINATORE

x - 1 < 0

x < +1

 

Rappresentiamo graficamente il risultato del numeratore e del denominatore:

Disequazioni fratte

 

Ricordiamo che:

  • la LINEA CONTINUA indica i valori che SODDISFANO la disequazione;

  • la LINEA TRATTEGGIATA indica i valori che NON SODDISFANO la disequazione;

  • il CERCHIETTO PIENO indica che il valore è COMPRESO nelle soluzioni della disequazione;

  • il CERCHIETTO VUOTO indica che il valore NON è COMPRESO nelle soluzioni della disequazione.

 

Ora studiamo il segno della frazione. Per la REGOLA dei SEGNI sappiamo che un QUOZIENTE è POSITIVO quando:

  • ENTRAMBI I TERMINI della divisione sono POSITIVI;

  • o

  • ENTRAMBI I TERMINI della divisione sono NEGATIVI.

 

Quindi la nostra disequazione avrà i seguenti segni:

Disequazioni fratte

 

Abbiamo contraddistinto le varie parti del grafico con colori diversi per rendere più chiara la spiegazione.

La parte del grafico contraddistinta dal colore giallo, rappresenta l'intervallo compreso tra +1 e più infinito. In questo intervallo sia il numeratore che il denominatore sono negativi e dunque, il loro QUOZIENTE è POSITIVO.

La parte del grafico contraddistinta dal colore azzurro, rappresenta l'intervallo compreso tra +1 e -1. In questo intervallo uno dei termini della frazione è positivo e l'altro è negativo. Quindi il QUOZIENTE è NEGATIVO.

La parte del grafico contraddistinta dal colore verde, rappresenta l'intervallo compreso tra meno infinito e -1. In questo intervallo sia il numeratore che il denominatore sono positivi e dunque, il loro QUOZIENTE è POSITIVO.

 

Poiché noi dobbiamo cercare i valori della x che rendono negativa la nostra disequazione possiamo dire che ciò accade quando 

-1 < x < +1

x compreso tra -1 e +1.

 

 

Vediamo una altro esempio:

 

Disequazioni fratte

Risolviamo separatamente il numeratore e il denominatore.

NUMERATORE: 

3x + 6 > 0

3x > - 6

x > - 6/3

x > 2

 

DENOMINATORE

2x - 8 > 0

2x > 8

x > 8/2

x > 4.

 

Rappresentiamo graficamente il risultato del numeratore e del denominatore:

Disequazioni fratte

 

Ora studiamo il segno della frazione. Per la REGOLA dei SEGNI sappiamo che un QUOZIENTE è POSITIVO quando:

  • ENTRAMBI I TERMINI della divisione sono POSITIVI;

  • o

  • ENTRAMBI I TERMINI della divisione sono NEGATIVI.

 

Quindi la nostra disequazione avrà i seguenti segni:

Disequazioni fratte

 

La parte del grafico contraddistinta dal colore giallo, rappresenta l'intervallo compreso tra +4 e più infinito. In questo intervallo sia il numeratore che il denominatore sono positivi e dunque, il loro QUOZIENTE è POSITIVO.

La parte del grafico contraddistinta dal colore azzurro, rappresenta l'intervallo compreso tra -2 e +4. In questo intervallo uno dei termini della frazione è positivo e l'altro è negativo. Quindi il QUOZIENTE è NEGATIVO.

La parte del grafico contraddistinta dal colore verde, rappresenta l'intervallo compreso tra meno infinito e -2. In questo intervallo sia il numeratore che il denominatore sono negativi e dunque, il loro QUOZIENTE è POSITIVO.

 

Poiché noi dobbiamo cercare i valori della x che rendono positiva la nostra disequazione possiamo dire che ciò accade quando 

 x < -2

e

x > +4.

 

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