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DISEQUAZIONI con VALORE ASSOLUTO e una COSTANTE

 

 



Per comprendere  

 

In questa lezione e nella prossima vedremo come si risolvono le disequazioni che si presentano in una delle seguenti forme:

|A(x)| > k

|A(x)| < k

dove k è una costante.

 

Così come abbiamo detto nella lezione precedente, anche in questo caso:

  • anziché il simbolo di maggiore possiamo trovare quello di maggiore o uguale;

  • come, anziché il simbolo di minore possiamo trovare quello di minore o uguale.

 

In questa lezione ci concentreremo sul caso di disequazioni con il simbolo di maggiore o maggiore uguale, quindi disequazioni del tipo

|A(x)| > k

oppure 

|A(x)| k.

 

Bisogna distinguere il caso in cui k è negativo, da quello in cui è positivo.

Partiamo da

k < 0.

A primo membro abbiamo un valore assoluto: esso è sempre positivo, quindi la nostra disequazione è sempre vera dato che un valore positivo è sempre maggiore di uno negativo. Anche nel caso in cui la x dovesse assumere dei valori tali che A(x) è uguale a zero, la disequazione è vera dato che lo zero è maggiore di un numero negativo.

In altre parole la soluzione è data da:

Disequazioni con valore assoluto

che si legge

qualunque x appartenente ai reali.

 

Esempio:

|6x - 2| > -4.

Nel nostro esempio

k = - 4

quindi un valore negativo. Il primo membro è sempre positivo e, quindi, sempre maggiore del secondo. La disequazione è sempre vera per qualsiasi valore di x.

 

E se anziché il simbolo di maggiore, nella disequazione vi fosse stato il simbolo di maggiore o uguale? In altre parole vogliamo vedere cosa accade se la disequazione ha una forma del tipo:

|A(x)| k

sempre con 

k < 0.

Ovviamente non cambia nulla dato che dovremmo includere nella soluzione anche i valore di  x che annullano A(x) ma abbiamo visto che essi sono già compresi nel caso in cui la disequazione preveda il solo simbolo di maggiore.

 

Passiamo ad esaminare il caso in cui

|A(x)| > k

con 

k > 0.

 

Per risolvere questo tipo di disequazione ricorriamo alla definizione di valore assoluto ed in modo particolare consideriamo il VALORE ASSOLUTO di un numero o di una espressione come  la sua DISTANZA DALL'ORIGINE di una linea dei numeri.

Prendiamo allora il numero reale k: la sua distanza dall'origine è k. Ma anche il numero -k ha una distanza dall'origine pari a k. Graficamente:

Disequazioni con valore assoluto

E' evidente che, il segmento 0k è il segmento -k0 sono congruenti cioè, in altre parole, coincidono.

 

Ora chiediamoci: "Quando il valore assoluto di un'espressione è maggiore di k?". Ciò si verifica quando la distanza dall'origine è maggiore rispetto alla distanza 0k oppure quando la distanza dall'origine è maggiore rispetto alla distanza -k0

 

Ad esempio quando

Disequazioni con valore assoluto

 

In altre parole, questo si verifica ogni volta che la nostra espressione si colloca nell'area tratteggiata del grafico:

 

Disequazioni con valore assoluto

 

cioè ogni volta in cui A(x) è maggiore di k oppure A(x) è minore di -k.

 

In altre parole le soluzioni della disequazione sono

A(x) > k   ˅   A(x) < - k

che si legge

A con x maggiore di k oppure A con x minore di meno k.

 

 

Esempio:

|5x + 2| > 12.

Il verso della disequazione è maggiore e k è un numero positivo, 12: si tratta, quindi, di risolvere

5x + 2 > 12   ˅  5x + 2 < - 12.

Risolviamo la prima disequazione:

5x + 2 > 12

5x > 12 - 2

5x > 10

x > 5/10

x > 2.

 

Passiamo alla seconda disequazione

5x + 2 < - 12

5x < -12 - 2

5x < -14

x < -14/5.

 

La nostra disequazione di partenza ha, quindi, come soluzioni

x > 2   ˅  x < -14/5.

 

 

E se la nostra disequazione presentasse, oltre al simbolo di maggiore, anche quello di uguale? Non cambia nulla. Basta aggiungere il simbolo di uguale anche nel risultato, cioè includere nel risultato anche i valori di x che rendono nullo A(x).

Quindi, se

A(x) k

con

k > 0

le soluzioni saranno

A(x) ≥ k   ˅   A(x) - k.

 

Esempio:

|3x - 6| 18

3x - 6 ≥ 18   ˅  3x - 6 - 18.

 

Risolviamo la prima disequazione:

3x - 6 ≥ 18

3x ≥ 18 + 6

3x ≥ 24

x ≥ 24/3

x ≥ 8.

 

Passiamo alla seconda disequazione:

3x - 6 ≤ - 18

3x ≤ - 18 + 6

3x ≤ - 12

x -12/3

x -4

 

La nostra disequazione di partenza ha, quindi, come soluzioni

x ≥ 8   ˅  x -4.

 

 

Nella prossima lezione vedremo cosa accade nelle disequazioni con valore assoluto e una costante e il simbolo di minore.

Inoltre, quello che abbiamo visto in questa lezione non è il solo modo per risolvere una disequazione di questo tipo: se volte saperne di più leggete l'approfondimento Risoluzione di disequazioni con valore assoluto e costante: vi suggeriamo, però, di leggerlo dopo aver letto la prossima lezione.

 

   Lezione precedente - Lezione successiva

Indice argomenti sulle disequazioni con valore assoluto

 

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