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DISEQUAZIONI con VALORE ASSOLUTO e incognita anche fuori dal modulo

 

 



Per comprendere  

 

In questa lezione vedremo come applicare la regola esposta nella lezione 5, alle disequazioni del tipo

|A(x)| B(x)

oppure

|A(x)| ≤ B(x).

 

In pratica si tratta di disequazioni che hanno:

  • in un membro, un modulo contenente l'incognita;

  • nell'altro membro, una espressione contenente anch'essa l'incognita.

 

Esempio:

|9x - 7| > 3x + 2.

 

Iniziamo a STUDIARE il SEGNO  delle espressioni che compaiono all'interno di ciascun modulo. Qui abbiamo un solo modulo e, quindi, studiamo solamente il segno della espressione presente al suo interno. Quindi scriviamo:

9x - 7 ≥ 0

9x ≥ 7

x ≥ 7/9.

 

Notiamo che:

  • quando l'incognita è maggiore di 7/9 l'espressione presente nel modulo è positiva;

  • quando l'incognita è uguale a 7/9 l'espressione presente nel modulo è nulla;

  • quando l'incognita è minore di 7/9 l'espressione presente nel modulo è negativa.

 

RIPORTIAMO i RISULTATI ottenuti su di un GRAFICO:

Risolvere disequazioni con valore assoluto

Nel grafico risultano individuati due intervalli. Chiaramente il grafico si potrebbe anche omettere, proprio perché gli intervalli sono solo due.

Quindi scriviamo un sistema per ogni intervallo.

Quando 

x < 7/9

l'espressione presente nel modulo è negativa, quindi la nostra disequazione diventa:

- (9x - 7 ) > 3x + 2.

Il primo sistema da risolvere, quindi, è:

Risolvere disequazioni con valore assoluto

 

 

Quando 

x ≥ 7/9

l'espressione presente nel modulo è positiva o nulla, quindi la nostra disequazione diventa:

9x - 7 > 3x + 2.

Il secondo sistema da risolvere, quindi, è:

Risolvere disequazioni con valore assoluto

 

Andiamo a risolvere i due sistemi.

Partiamo dal primo:

Risolvere disequazioni con valore assoluto

 

Riportiamo i risultati ottenuti su un grafico:

Risolvere disequazioni con valore assoluto

 

La soluzione del primo sistema è data dalle 

x < 5/12.

 

Passiamo a risolvere il secondo sistema:

Risolvere disequazioni con valore assoluto

 

Riportiamo i risultati ottenuti su un grafico:

Risolvere disequazioni con valore assoluto

 

Ricordiamo che, in questo caso, il pallino pieno presente nel grafico indica che il valore 7/9 è compreso nelle soluzioni della disequazione.

La soluzione del secondo sistema è data dalle 

x > 3/2.

 

 

Facciamo l'UNIONE INSIEMISTICA dei risultati ottenuti e avremo la soluzione della disequazione data. Essa è

x < 5/12  ˅   x > 3/2.

 

 

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