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DISEQUAZIONI con DUE MODULI

 

 



Per comprendere  

 

Continuiamo a vedere come applicare la regola esposta nella lezione 5, e andiamo ad occuparci delle disequazioni nelle quali sono presenti due moduli e un'ESPRESSIONE. In altre parole ci occupiamo di disequazioni del tipo

|A(x)| + |B(x)| k

oppure

|A(x)| + |B(x)| ≤ k

e ancora

|A(x)| + |B(x)| C(x)

oppure

|A(x)| + |B(x)| ≤ C(x).

 

Chiaramente, le regole che andremo a vedere, valgono anche nei seguenti casi:

|A(x)| - |B(x)| k

oppure

|A(x)| - |B(x)| ≤ k

e ancora

|A(x)| - |B(x)| C(x)

oppure

|A(x)| - |B(x)| ≤ C(x).

 

 

Prendiamo come esempio la seguente disequazione:

|x| + |x - 2| > 6x.

Procediamo, così come abbiamo già avuto modo di vedere nelle lezioni precedenti, STUDIANDO il SEGNO di ogni espressione presente all'interno dei due moduli. Quindi poniamo:

x ≥ 0

e

x - 2 ≥ 0.

Quest'ultima espressione equivale a scrivere

x ≥ 2.

 

 

RIPORTIAMO i RISULTATI ottenuti sul solito GRAFICO:

Risolvere disequazioni con valore assoluto

Scriviamo, come di consueto, i nostri tre sistemi (per una spiegazione più estesa si rimanda a quanto detto nelle lezioni precedenti): 

Risolvere disequazioni con valore assoluto

 

 

Risolviamo i tre sistemi.

Primo sistema:

Risolvere disequazioni con valore assoluto

 

Riportiamo i risultati ottenuti su un grafico:

Risolvere disequazioni con valore assoluto

 

La soluzione del primo sistema è data dalle 

x < -1/3.

 

 

Secondo sistema:

Risolvere disequazioni con valore assoluto

 

Riportiamo i risultati ottenuti su un grafico:

Risolvere disequazioni con valore assoluto

 

E' evidente che il sistema non ammette soluzioni.

 

 

Terzo sistema:

Risolvere disequazioni con valore assoluto

 

Riportiamo i risultati ottenuti su un grafico:

Risolvere disequazioni con valore assoluto

 

Anche questo sistema non ammette soluzioni.

 

Quindi, il risultato del nostro sistema è

x < -1/3.

 

Facciamo ora una precisazione. Nei casi nei quali la nostra disequazione assume la forma:

 

|A(x)| + |B(x)| k

oppure

|A(x)| + |B(x)| ≤ k

la disequazione si potrebbe risolvere anche in altro modo, senza ricorrere al metodo qui illustrato: ne parliamo in un apposito approfondimento.

 

Concludiamo questa lezione dicendo che il metodo sin qui visto si applica anche nel caso in cui, nella disequazione sono presenti tre o più moduli. Quindi, in disequazioni del tipo:

A(x)| + |B(x)| |C(x)|

oppure

|A(x)| + |B(x)| ≤ |C(x)|

e ancora

A(x)| + |B(x)| + C(x) ≥ D(x)

oppure

|A(x)| + |B(x)| + C(x) ≤ D(x)

e così via.

 

Chiaramente, a primo membro, anziché avere la somma di più moduli, potremmo avere la loro differenza (o i segni + e - potrebbero essere variamente combinati) e non cambierebbe nulla rispetto a quanto abbiamo detto fin ora.

 

 

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