EQUAZIONI CON UN VALORE ASSOLUTO DENTRO L'ALTRO
- Nozione di valore assoluto
- Equazioni con valore assoluto
- Equazioni con valore assoluto e lo zero
- Equazioni con valore assoluto ed una costante
- Equazioni con valore assoluto e incognita anche fuori dal modulo
- Equazioni con due moduli
- Equazioni con due moduli
- Equazioni con tre o più moduli
- Equazioni fratte con valore assoluto
- Risoluzione di equazioni con valore assoluto
In questa lezione andremo a vedere come si risolvono le equazioni nelle quali sono presenti un VALORE ASSOLUTO DENTRO L'ALTRO.
In altre parole si tratta di equazioni che possono presentarsi, ad esempio, in una delle seguenti forme:
| A(x) + |B(x)| | = k
oppure
| A(x) + |B(x)| | = C(x)
dove k può assumere valore zero o essere una qualsiasi altra costante, mentre A(x), B(x) e C(x) sono delle espressioni contenenti l'incognita x.
Come si risolvono queste equazioni?
Basta immaginare, tutto quello che è scritto nel MODULO ESTERNO, come se fosse una sola espressione. Prendiamo il primo caso (ma quello che diremo vale anche per l'altro caso)
| A(x) + |B(x)| | = k.
Si tratta di immaginare l'equazione scritta nella forma:
Per cui la nostra equazione diventa
| D(x) | = k.
A questo punto, si risolve secondo le regole apprese nelle lezioni precedenti.
Ma vediamo come procedere con un esempio concreto.
Esempio:
| x - | x - 4 | | = 8.
Poniamo
D(x) = x - | x - 4 |.
L'equazione di partenza diventa:
| D(x) | = 8.
Noi sappiamo che un'equazione di questo tipo ha come soluzioni
D(x) = 8 ˅D(x) = - 8.
ovvero
x - | x - 4 | = 8 ˅ x - | x - 4 | = - 8.
Da qui ricaviamo
- | x - 4 | = 8 - x ˅ - | x - 4 | = - 8 - x.
Entrambe le nostre equazioni sono del tipo:
| A(x)| = B(x)
e si risolvono impostando i sistemi
Questo significa che noi avremo due sistemi per ognuna delle equazioni scritte in precedenza: quindi, in totale, dovremo risolvere quattro sistemi.
Prima equazione:
- | x - 4 | = 8 - x
Seconda equazione
- | x - 4 | = - 8 - x
Iniziamo a risolvere il primo sistema:
Partiamo dalla disequazione
x - 4 ≥ 0
x ≥ 4.
Passiamo all'equazione
- (x - 4) = 8 - x
- x + 4 = 8 - x
- x + x = 8 - 4
0 = 4.
Il sistema non ha soluzioni.
Passiamo al secondo sistema:
Iniziamo come sempre dalla disequazione:
x - 4 < 0
x < 4.
Quindi passiamo all'equazione:
(x - 4) = 8 - x
x - 4 = 8 - x
x + x = 8 + 4
2x = 12
x = 6.
Il sistema non ha soluzioni dato che 6 non è minore di 4.
Procediamo col terzo sistema:
Iniziamo con la disequazione:
x - 4 ≥ 0
x ≥ 4.
Passiamo all'equazione:
- (x - 4) = - 8 - x
- x + 4 = - 8 - x
- x + x = - 8 - 4
0 = -12.
Il sistema non ha soluzioni.
Concludiamo con il quarto sistema:
Cominciamo con la disequazione:
x - 4 < 0
x < 4.
Concludiamo con l'equazione:
x - 4 = - 8 - x
x + x = - 8 + 4
2x = -4
x = -4/2
x = -2.
Il sistema ha come soluzione -2 essendo questo valore minore di 4.
Quindi la soluzione della nostra equazione di partenza è -2.
